80 4 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTIONEN „Exponentielle Katastrophen“ L Wir vergleichen mittels Technologieeinsatz die Exponentialfunktion f mit f (x) = 1,1 x mit der linearen Funktion g mit g (x) = 10 · x, beide Funktionen für x º 0. Es sieht zunächst so aus, als ob die lineare Funktion g wesentlich schneller wächst als die Exponentialfunktion f. Durch Zoomen kann man jedoch einen größeren Ausschnitt des Koordinatensystems erfassen und stellt fest, dass die Exponentialfunktion f die lineare Funktion g schließlich übertrifft. f(x), g(x) x f g 100 10 20 30 40 200 300 f(x), g(x) x f g 20 60 100 200 400 600 800 1 000 1 200 Die lineare Funktion g wächst nur für kleine Argumente wesentlich schneller als die Exponentialfunktion f. Etwas Ähnliches beobachtet man, wenn man die Exponentialfunktion f mit f (x) = 1,1x mit der Potenzfunktion g mit g (x) = x3 vergleicht: f(x), g(x) x f g 10 30 50 200 400 600 800 1 000 1 200 f(x), g(x) x f g 100 200 300 5·106 1·107 1,5·107 2·107 Auch die Potenzfunktion g wächst nur für relativ kleine Argumente schneller als die Exponentialfunktion. Man kann beweisen, dass eine Exponentialfunktion jede Polynomfunktion (und damit auch jede lineare Funktion und jede Potenzfunktion) bei genügend großem x übertrifft. Den Beweis führen wir nicht durch. Eine praktische Anwendung dieser Erkenntnis betrifft die Rechenzeit von Computeralgorithmen. Oft hängt die Rechenzeit T (n) eines Algorithmus im Großen und Ganzen von der Größe eines Parameters n ab (zB bei der Überprüfung, ob n eine Primzahl ist). Bei manchen Algorithmen wächst die Rechenzeit T (n) annähernd exponentiell mit n, dh. sie nimmt zunächst langsam zu, steigt aber für große Werte von n schließlich unerwartet stark an. Dies kann zum Beispiel zur Folge haben, dass die Rechenzeit für ein gewisses n wenige Minuten beträgt, für nur wenig größere n schon mehrere Jahre und für nachfolgende n so groß ist, dass der Algorithmus nicht mehr durchgeführt werden kann. 4.78 Im Jahre 2016 wurden weltweit etwa 242 Millionen Tonnen Plastikmüll produziert. Modellrechnungen erwarten ein jährliches Wachstum der Plastikmüllmenge um 5 %. Mit wie viel Plastikmüll ist 2050 zu rechnen? Wie viel Plastikmüll kann man im Jahre 2100 erwarten? AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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