79 4.3 Anwendungen von Exponentialfunktionen Vergleich von linearen Funktionen und Exponentialfunktionen R 4.75 Gegeben sei eine lineare Funktion f mit f (x) = k · x + d. Zeige: 1) Die absolute Änderung f (x + h) – f (x) hängt nur von h, aber nicht von x ab. 2) Der Differenzenquotient f(x + h) – f(x) _ h hängt weder von h noch von x ab. 4.76 Gegeben sei eine Exponentialfunktion f mit f (x) = c · ax (c * ℝ*). Zeige: 1) Die relative Änderung f(x + h) – f(x) _ f (x) hängt nur von h, aber nicht von x ab. 2) Der Änderungsfaktor f (x + h) _ f (x) hängt nur von h, aber nicht von x ab. Wir fassen die wichtigsten Ergebnisse der letzten beiden Aufgaben zusammen: Lineares Wachsen f(x)=k·x+d (mit k > 0) h k·h k·h k·h k·h k·h k·h k·h 0 h h h h h h f(x) x Gleiche Zunahme der Argumente bewirkt stets gleiche Zunahme der Funktionswerte: f(x+h)=f(x)+k·h Die absolute Änderung f(x + h) – f(x) hängt nur von der Intervalllänge h, aber nicht von der Stelle x ab: f(x+h)–f(x)=k·h Der Differenzenquotient f(x + h) – f(x) _ h ist konstant, hängt also weder von der Intervalllänge h noch von der Stelle x ab: f(x + h) – f(x) _ h = k Exponentielles Wachsen f (x) = c · a x (mit a > 1) h ph % ph % ph % h h 0 f(x) x Gleiche Zunahme der Argumente bewirkt stets Zunahme der Funktionswerte mit dem gleichen Faktor bzw. um den gleichen Prozentsatz vom Ausgangswert: f(x+h)=f(x)·ah = f (x) · (1 + p h _ 100 ) Die relative Änderung f(x + h) – f(x) _ f (x) hängt nur von der Intervalllänge h, aber nicht von der Stelle x ab: f(x + h) – f(x) _ f (x) = a h – 1 Der Änderungsfaktor f (x + h) _ f (x) hängt nur von der Intervalllänge h ab: f (x + h) _ f (x) = a h 4.77 In einer Tourismusgemeinde gab es im Sommer jeweils folgende Nächtigungszahlen: Jahr 2014 2016 2018 Nächtigungszahl 295 665 302 909 310 327 1) Entscheide durch Vergleich geeigneter Änderungsmaße, ob die Entwicklung der Nächtigungszahlen besser durch ein lineares oder ein exponentielles Modell beschrieben wird! Begründe die Antwort! 2) Welche ungefähre Sommernächtigungszahl liefert das gewählte Modell für das Jahr 2020? AUFGABEN R Ó Arbeitsblatt 3x26q6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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