78 4 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTIONEN Exponentialungleichungen R 4.68 a) Ein Wachstumsprozess verläuft annähernd nach dem Wachstumsgesetz N(t) = 100 · 1,2t (t in Stunden). Nach welcher Zeit ist N (t) > 1 500? b) Ein Abnahmeprozess verläuft annähernd nach dem Abnahmegesetz N(t) = 100 · 0,8t (t in Jahren). Nach welcher Zeit ist N (t) < 15? LÖSUNG a) 100 · 1,2 t > 1500 É 1,2 t > 15 É t · log 10 1,2 ⏟ > 0 > log 1015 É t > log 1015 _ log 101 ,2 ≈ 14,9 (h) BEACHTE Wegen log 101,2 > 0 bleibt das Ungleichheitszeichen erhalten. b) 100 · 0,8 t < 15 É 0,8 t < 0,15 É t · log 10 0,8 ⏟ < 0 < log 100 ,15 É t > log 100,15 _ log 100 ,8 ≈ 8,5 (h) BEACHTE Wegen log 100,8 < 0 dreht sich das Ungleichheitszeichen um. 4.69 Eine Größe vermindert sich nach dem Abnahmegesetz N(t) = 500 · e– 0,25t (t in Jahren). Nach welcher Zeit ist N (t) ª 10? LÖSUNG 500 · e– 0,25t ª 10 w e– 0,25t ª 0,02 w – 0,25 ⏟ < 0 · t · ln e ⏟ 1 ª ln 0,02 w t º ln 0,02 _ – 0,25 ≈ 15,6 Ab ca. 15,6 Jahren ist N (t) ª 10. 4.70 Ein exponentieller Wachstumsprozess verläuft annähernd nach dem Wachstumsgesetz N (t) = 5 · 1,12t. Zeichne den Graphen der Funktion N, die jedem Zeitpunkt t die Größe N (t) zuordnet! Ermittle sowohl grafisch als auch rechnerisch, für welche t folgender Zusammenhang gilt: a) N(t) > 5 b) N(t) > 6 c) 4ªN(t)ª6 d) 6ªN(t)ª7 4.71 Wir nehmen an, dass sich ein grippaler Infekt innerhalb eines kurzen Zeitraums annähernd exponentiell ausbreitet, wobei die Anzahl der Erkrankten täglich um ca. a) 15 %, b) 20 %, c) 25 % zunimmt. Wenn die Ansteckung von einem Menschen ausgeht, nach wie vielen Tagen werden mindestens 1 000 Menschen erkrankt sein? 4.72 Die Bevölkerung einer Stadt ist von 2012 bis 2021 annähernd exponentiell gewachsen. Im Jahr 2017 hatte die Stadt 42 000 Einwohner, im Jahr 2021 hatte sie 50 000 Einwohner. Wir gehen von der Annahme aus, dass das Wachstum noch einige Jahre so weitergehen wird. a) Wie viele Einwohner wird die Stadt im Jahr 2025 haben? b) Wann wird die Stadt mindestens 65 000 Einwohner haben? (Zähle die Jahre von 2012 an!) 4.73 Ein Körper mit der Temperatur 80 °C wird in einen Kühlraum gestellt. Dabei nimmt seine Temperatur pro Stunde um 20 % ab. Nach welcher Zeit ist die Temperatur unter a) 50°, b) 30°, c) 10°, d) 1° gesunken? 4.74 Das Insektizid DDT wurde bis in die 1970er-Jahre weltweit in großen Mengen zur Schädlingsbekämpfung eingesetzt. DDT reichert sich im Körpergewebe an und schädigt dieses. Die biologische Halbwertszeit von DDT im Körper beträgt mehr als 1 Jahr. In einer Probe weist das Fettgewebe einer untersuchten Person eine Konzentration von 1,54mg DDT pro Kilogramm Gewebemasse auf. Nach frühestens wie vielen Tagen ist die DDT-Konzentration auf unter 0,9mg/kg gesunken, wenn kein weiteres DDT aufgenommen wird? kompakt S. 86 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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