77 4.3 Anwendungen von Exponentialfunktionen 4.62 Zeige: Bei einem radioaktiven Zerfallsprozess besteht zwischen der Halbwertszeit τ und der Zerfallskonstanten λ die Beziehung: τ = ln 2 _ λ . 4.63 Vom folgenden Element ist das Zerfallsgesetz gegeben. Berechne die Halbwertszeit! a) Polonium 218: N (t) ≈ N0 · e – 0,227 261 · t (t in Minuten) b) Radon 222: N(t) ≈ N0 · e – 0,181 452 · t (t in Tagen) c) Radium 226: N(t) ≈ N0 · e – 0,000 433 · t (t in Jahren) d) Uran 238: N(t) ≈ N0 · e – 0,155 136 · t (t in 109 Jahren) Exponentielle Modelle R Die Beschreibung einer Situation durch eine Exponentialfunktion ist immer dann angemessen, wenn ein Grund zur Annahme vorliegt, dass sich bei gleicher Zunahme der Argumente die Funktionswerte mit dem gleichen Faktor (um den gleichen Prozentsatz) ändern. 4.64 Die Höhe des Bierschaums in einem Glas wurde alle 20s gemessen. 1) Zeichne die zur Tabelle gehörigen Punkte in ein Diagramm ein! 2) Begründe, warum man von einer näherungsweisen exponentiellen Abnahme der Schaumhöhe sprechen kann und gib eine passende Termdarstellung der Funktion h: t ¦ h (t) an! 3) Was bedeuten die Zahlen in dieser Termdarstellung? 4) Man spricht von „sehr guter Bierschaumhaltbarkeit“, wenn die Halbwertszeit des Schaumzerfalls mehr als 2 min beträgt. Liegt im vorliegenden Fall sehr gute Bierschaumhaltbarkeit vor? 4.65 Im Jahr 2008 wurden die kostendeckend nutzbaren Erdölreserven weltweit auf 159,9 Mill. Tonnen geschätzt und der Welterdölverbrauch betrug in diesem Jahr 3,91 Mill. Tonnen. a) In welchem Jahr würden die Welterdölreserven unter 10 % der Menge des Jahres 2008 sinken, wenn man annimmt, dass der jährliche Verbrauch auf dem Niveau des Jahres 2008 bleibt? b) Wann wäre der Verbrauch um 10% höher als der Verbrauch des Jahres 2008, wenn man annimmt, dass er jährlich um ca. 0,5 % steigt? c) Recherchiere im Internet, wie hoch der tatsächliche Verbrauch derzeit ist. Stimmt er mit der Modellberechnung einigermaßen überein? 4.66 Bei einer intravenösen Verabreichung eines Medikaments wird der Sättigungswert (maximale Konzentration im Blut) praktisch sofort, also zum Zeitpunkt t = 0, erreicht. Von da an wird das Medikament abgebaut. Nach 1 h beträgt die Konzentration nur mehr 80 % des Sättigungswerts. Berechne jenen Zeitpunkt, ab dem die Konzentration unter 1 % des Sättigungswerts gesunken ist, wenn man a) lineare, b) exponentielle Abnahme annimmt! Berechne mit Hilfe beider Modelle, wann die Konzentration auf 60 % bzw. 5 % gesunken ist! Sinkt sie in diesem Modell jemals auf 0 %? 4.67 Die Tabelle vergleicht die Bevölkerungsentwicklung Chinas und Indiens für das Jahr 2016. 1) Stelle für beide Länder die Wachstumsgesetze auf! Für das Jahr 2016 soll t = 0 gelten! 2) Stelle die Entwicklung der Bevölkerungszahlen jeweils von 2016 bis 2050 mit Technologieeinsatz grafisch dar! 3) Wann hat die Bevölkerungszahl Indiens die Bevölkerungszahl Chinas überstiegen? AUFGABEN R Zeit t (in s) 0 20 40 60 80 100 120 Höhe (in mm) 30 26 23 19 17 15 13 Land China Indien Bevölkerungszahl (in Mill.) 1 379 1 324 jährliche Wachstumsrate 0,5 % 1,2 % Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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