76 4 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTIONEN Darstellung von exponentiellen Prozessen mit Hilfe der Euler’schen Zahl R Ein exponentieller Wachstums- oder Abnahmeprozess ist gegeben durch: N (t) = N 0 · a t In vielen Anwendungen nimmt man anstelle der Basis a die Euler’sche Zahl e als Basis und schreibt: Wachstumsprozess: N (t) = N0 · e λt λ * R+ heißt Wachstumskonstante. Abnahmeprozess: N (t) = N0 · e – λt λ * R+ heißt Abnahmekonstante, beim radioaktiven Zerfall auch Zerfallskonstante. Exponentieller Wachstumsprozess N (t) = N (0) · at mit a > 1 N (t) = N (0) · e λt mit λ > 0 Exponentieller Abnahmeprozess N (t) = N (0) · at mit 0 < a < 1 N (t) = N (0) · e – λt mit λ > 0 Wie hängen a und λ zusammen? • Wachstumsprozess: N (0) · a t = N (0) · e λt É a t = e λt É a t = (e λ) t É a = e λ • Abnahmeprozess: N (0) · a t = N (0) · e – λt É a t = e – λt É a t = (e – λ) t É a = e – λ 4.56 Stelle a) das Wachstumsgesetz N (t) = 1 500 · 1,05 t, b) das Abnahmegesetz N (t) = 1 500 · 0,95 t mit Hilfe der Basis e dar! Ermittle dazu die Wachstums- bzw. Abnahmekonstante λ! LÖSUNG a) 1,05 = e λ w λ = ln1,05 ≈ 0,049, somit gilt: N (t) ≈ 1 500 · e 0,049 t b) 0,95 = e – λ w – λ = ln 0,95 w λ = – ln 0,95 ≈ 0,051, somit gilt: N (t) ≈ 1 500 · e – 0,051 t 4.57 Ein Wachstumsprozess verläuft nach dem folgenden Wachstumsgesetz. Gib das Wachstumsgesetz mit Hilfe der Zahl e an! Wie groß ist die Wachstumskonstante? a) N (t) = 800 · 1,25t b) N (t) = 450 · 1,36t c) N (t) = 180 · 1,05t 4.58 Ein Abnahmeprozess verläuft nach dem folgenden Abnahmegesetz. Gib das Abnahmegesetz mit Hilfe der Zahl e an! Wie groß ist die Abnahmekonstante? a) N (t) = 480 · 0,8t b) N (t) = 540 · 0,36t c) N (t) = 910 · 0,03t 4.59 Ein radioaktiver Zerfall verläuft nach dem folgenden Zerfallsgesetz. Gib das Zerfallsgesetz mit Hilfe der Zahl e an! Wie groß ist die Zerfallskonstante? a) N (t) = 10 000 · 0,98t b) N (t) = 15 000 · 0,96t c) N (t) = 20 000 · 0,99t 4.60 Eine Größe vermehrt sich nach dem angegebenen Wachstumsgesetz, wobei t in Jahren gemessen wird. Um wie viel Prozent nimmt die Größe jährlich zu? a) N (t) = 490 · e0,182 32 · t b) N (t) = 490 · e0,095 31 · t c) N (t) = 490 · e0,048 79 · t 4.61 Eine Größe vermindert sich nach dem angegebenen Abnahmegesetz, wobei t in Jahren gemessen wird. Um wie viel Prozent nimmt die Größe jährlich ab? a) N (t) = 200 · e– 0,162 52 · t b) N (t) = 870 · e– 0,105 36 · t c) N (t) = 1 000 · e– 0,051 29 · t kompakt S. 86 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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