73 4.3 Anwendungen von Exponentialfunktionen Verdopplungs- und Halbwertszeit R Wird ein exponentieller Wachstums- bzw. Abnahmeprozess durch N (t) = N 0 · a t beschrieben, so nennt man die Zeit τ (griechischer Buchstabe; lies: Tau), in der N jeweils verdoppelt bzw. halbiert wird, die Verdopplungszeit bzw. Halbwertszeit des Prozesses. 4.39 a) Zeige für einen exponentiellen Wachstumsprozess der Form N (t) = N 0 · a t (N 0 > 0, a > 1): Die Verdopplungszeit τ hängt nicht von N 0 , sondern nur von a ab. b) Zeige für einen exponentiellen Abnahmeprozess der Form N (t) = N 0 · a t (N 0 > 0, 0 < a < 1): Die Halbwertszeit τ hängt nicht von N 0 , sondern nur von a ab. LÖSUNG a) Wir berechnen die Verdopplungszeit τ für eine beliebige Anfangsmenge N 0 : N (τ) = 2 · N 0 É N 0 · a τ = 2 · N 0 É a τ = 2 É τ · log 10 a = log 10 2 É τ = log 10 2 _ log 10 a Das Ergebnis hängt nicht von N 0, sondern nur von a ab. b) Wir berechnen die Halbwertszeit τ für eine beliebige Anfangsmenge N 0 : N (τ) = 0,5 · N 0 É N 0 · a τ = 0,5 · N 0 É a τ = 0,5 É τ · log 10 a = log 10 0,5 É τ = log 10 0,5 _ log 10 a Das Ergebnis hängt nicht von N 0 , sondern nur von a ab. Je kleiner a ist, desto größer ist τ. 4.40 a) Eine Bakterienkultur wächst um ungefähr 18 % pro Stunde. Nach welcher Zeit verdoppelt sich die Bakterienanzahl jeweils? b) Das radioaktive Element Polonium 218 zerfällt nach dem Gesetz N (t) = N 0 · 0,79671 t (t in Minuten). Nach welcher Zeit ist jeweils nur mehr die Hälfte der unzerfallenen Atome vorhanden? LÖSUNG a) N (τ) = 2 · N 0 É N 0 · 1,18 τ = 2 · N 0 É 1,18 τ = 2 É τ · log 10 1,18 = log 10 2 É τ = log 10 2 _ log 10 1,18 ≈ 4,2 Nach jeweils ca. 4,2 Stunden verdoppelt sich die Bakterienanzahl. b) N (τ) = N 0 _ 2 É N 0 · 0,79671 τ = N 0 _ 2 É 0,79671 τ = 0,5 É τ · log 10 0,79671 = log 10 0,5 É É τ = log 10 0,5 _ log 10 0,79671 ≈ 3,05 Nach jeweils ca. 3,05 Minuten ist nur mehr die Hälfte der unzerfallenen Atome vorhanden. 4.41 1) Das radioaktive Element Thallium 210 besitzt die Halbwertszeit τ = 1,32 min. Stelle das Zerfallsgesetz auf! 2) Nach welcher Zeit sind nur mehr 10 % der ursprünglichen Thalliummenge vorhanden? LÖSUNG 1) N (τ) = N 0 _ 2 É N 0 · a 1,32 = N 0 _ 2 É a 1,32 = 0,5 É a = 0,5 1 _ 1,32 ≈ 0,5915 Das Zerfallsgesetz lautet somit: N (t) ≈ N 0 · 0,5915 t (t in Minuten) 2) N (t) = 0,1 · N 0 É N 0 · 0,5915 t = 0,1 · N 0 É 0,5915 t = 0,1 É t · log 10 0,5915 = log 10 0,1 É É t = log 10 0,1 _ log 10 0,5915 ≈ 4,39 Nach ca. 4,39 Minuten sind nur mehr 10 % der ursprünglichen Thalliummenge vorhanden. 4.42 Das folgende radioaktive Element zerfällt nach dem Gesetz N (t) = N 0 · a t. Ermittle aufgrund der angegebenen Halbwertszeit τ die Basis a und schreibe das Zerfallsgesetz an! a) Polonium 218: 3,05 min c) Polonium 210: 138,4 Tage e) Thorium 230: 75 380 Jahre b) Radon 222: 3,82 Tage d) Radium 226: 1 602 Jahre f) Uran 238: 4,468 · 109 Jahre Ó Applet 3wu4fy AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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