72 4 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTIONEN Radioaktiver Zerfall R Einen wichtigen exponentiellen Abnahmeprozess stellt der radioaktive Zerfall dar. Dabei zerfallen Atome eines radioaktiven Stoffes, dh. sie wandeln sich (unter Aussendung von Strahlung) in Atome eines anderen Stoffes um. Die Anzahl der noch unzerfallenen Atome nimmt dabei exponentiell nach folgendem Gesetz ab: Radioaktives Zerfallsgesetz N (t) = N 0 · a t (mit 0 < a < 1) N (t) N 0 = N (0) … Anzahl der noch unzerfallenen Atome zum Zeitpunkt t … Anzahl der noch unzerfallenen Atome zum Zeitpunkt t = 0 Da die Masse des noch vorhandenen radioaktiven Stoffes zur Anzahl der noch unzerfallenen Atome direkt proportional ist, gilt ein analoges Zerfallsgesetz für die Masse. 4.34 Wir nehmen an, dass von einem radioaktiven Stoff zu Beginn 1000 000 Atome vorhanden sind und die Anzahl der noch unzerfallenen Atome pro Stunde um ca. 15 % abnimmt. Es sei N (n) die Anzahl der noch unzerfallenen Atome nach n Stunden. a) Berechne N (n) für n = 1, 2, 3, 4 und zeichne den Graphen der Funktion N, die jedem Zeitpunkt n die Anzahl N (n) der noch unzerfallenen Atome zuordnet! b) Welche Annahme muss getroffen werden, damit man die Punkte in dem Graphen durch eine ununterbrochene Linie verbinden darf? Gib das Zerfallsgesetz an und zeichne den Graphen der Funktion N: t ¦ N (t)! 4.35 Eine bestimmte Anzahl von Atomen des radioaktiven Elementes Polonium 218 zerfällt annähernd nach dem Zerfallsgesetz N (t) = 1 500 000 · 0,79671t (t in Minuten). a) Wie viele unzerfallene Atome sind zu Beginn vorhanden? b) Wie viele unzerfallene Atome sind nach 2, 7, 14 bzw. 30 min noch vorhanden? c) Zeichne den Graphen der Funktion N, die jedem Zeitpunkt t die Anzahl N (t) der noch nicht zerfallenen Atome zuordnet! 4.36 Das radioaktive Element Wismut 210 zerfällt annähernd nach dem Zerfallsgesetz m (t) = m0 · 0,870 55t (m (t) in Gramm, t in Tagen). a) Auf welchen Bruchteil sinkt die Wismutmenge pro Tag bzw. in zwei Tagen ab? b) Um wie viel Prozent nimmt die Wismutmenge in 7 Tagen bzw. monatlich (30 d) ab? c) Zeichne den Graphen der Funktion m, die jedem Zeitpunkt t die Masse m (t) der noch nicht zerfallenen Atome (in Gramm) zuordnet, wenn zu Beginn 100 g Wismut vorhanden sind! 4.37 Beim radioaktiven Element Thallium 210 nimmt die Anzahl der unzerfallenen Atome pro Minute um ca. 40,85 % ab. 1) Gib das Zerfallsgesetz an, wenn zu Beginn 109 Atome vorhanden sind! 2) Wie viele unzerfallene Atome sind nach 15 min noch vorhanden? 4.38 Beim radioaktiven Element Phosphor 32 nimmt die Anzahl der unzerfallenen Atome pro Tag um ca. 4,73 % ab. 1) Gib das Zerfallsgesetz an, wenn zu Beginn 1012 Atome vorhanden sind! 2) Wie viele unzerfallene Atome sind nach 365 Tagen noch ungefähr vorhanden? AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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