71 4.3 Anwendungen von Exponentialfunktionen Ermitteln von Zeiten bei Wachstums- bzw. Abnahmeprozessen R 4.28 Eine Bakterienkultur wächst ungefähr um 15% pro Stunde. Wenn am Anfang 200000 Bakterien vorhanden sind, nach wie vielen Stunden sind es 500 000? LÖSUNG • Wachstumsgesetz: N (t) = 200 000 · 1,15 t • Zeitpunkt t bestimmen, für den gilt: 500 000 = N (t) 500 000 = 200 000 · 1,15t 2,5 = 1,15 t Wir logarithmieren beide Seiten, d.h. gehen auf beiden Seiten zum Zehnerlogarithmus über: log 10 2,5 = t · log 10 1,15 t = log 10 2,5 _ log 10 1,15 ≈ 6,6 • Nach ca. 6,6 Stunden sind es 500 000 Bakterien. 4.29 Ein exponentieller Wachstumsprozess verläuft annähernd nach dem Wachstumsgesetz N (t) = 5 · 1,12t. Zeichne den Graphen der Funktion N, die jedem Zeitpunkt t die Größe N (t) zuordnet! Ermittle sowohl grafisch als auch rechnerisch, für welchen Zeitpunkt gilt: a) N(t) = 6 b) N (t) = 6,5 c) N (t) = 7 d) N (t) = 7,5 4.30 Wie Aufgabe 4.29 für einen Abnahmeprozess mit dem Abnahmegesetz N(t) = 10 · 0,4t. a) N(t) = 2 b) N (t) = 1,5 c) N (t) = 1 d) N (t) = 0,5 4.31 Wir nehmen an, dass sich ein Gerücht innerhalb eines gewissen Zeitraums annähernd exponentiell ausbreitet, wobei die Anzahl derjenigen, die vom Gerücht wissen, täglich um ca. a) 10 %, b) 20 %, c) 30% zunimmt. Wenn das Gerücht von einem Menschen ausgeht, nach ungefähr wie vielen Tagen werden es 1000 Menschen gehört haben? 4.32 Der Inhalt der Fläche, die ein Bakterienstamm auf einer Nährlösung einnimmt, vermindert sich durch Zugabe eines Heilmittels stündlich um ca. 5 %. Zu Beginn beträgt der Flächeninhalt 1 000 mm2, nach t Stunden beträgt er A (t) mm2. Zeichne den Graphen der Funktion A, die jedem Zeitpunkt t den Flächeninhalt A (t) zuordnet! Ermittle sowohl grafisch als auch rechnerisch, wann der Flächeninhalt a) 900 mm2, b) 800 mm2, c) 750 mm2 beträgt! 4.33 Die Bevölkerung einer Region ist von 2017 bis 2022 annähernd exponentiell gewachsen. Im Jahr 2017 hatte die Region 82 000 Einwohner, im Jahr 2022 hatte sie 105 000 Einwohner. Wir gehen von der Annahme aus, dass das Wachstum noch einige Jahre so weitergehen wird. a) Wie viele Einwohner wird die die Region im Jahr 2027 haben? b) Wann wird die Region 150 000 Einwohner erreicht haben? HINWEIS Zähle die Jahre von 2017 an, dh. t = 0 entspricht dem Beginn des Jahres 2017! AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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