70 4 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTIONEN Ermitteln des Wachstums- bzw. Abnahmegesetzes aus zwei Werten 4.23 Die Anzahl der Bakterien auf einer Nährlösung wächst annähernd exponentiell. Zwei Stunden nach Beginn zählt man 800 Bakterien, nach weiteren zwei Stunden 2200 Bakterien. Wie viele Bakterien waren am Anfang vorhanden und wie viele sind es nach 12h? LÖSUNG Es sei N 0 die Anzahl der Bakterien zu Beginn und N (t) die Anzahl der Bakterien nach t Stunden. Dann gilt: N (t) = N 0 · a t. • Berechnung von a: Laut Angabe gilt: N (4) = N (2) · a 2 w a 2 = N (4) _ N (2) = 2 200 _ 800 w a ≈ 1,6583 • Berechnung von N 0: N(2) = N 0 · a 2 w N 0 = N (2) _ a 2 = 800 _ 22 _ 8 = 6 400 _ 22 ≈ 291 • Berechnung von N (12): Es gilt: N (t) = N 0 · a t • D araus folgt: N (12) = N 0 · a 12 ≈ 125 821 Zu Beginn waren ca. 291 Bakterien vorhanden. Nach 12 Stunden sind es ca. 125821 Bakterien. 4.24 Von einem exponentiellen Wachstums- bzw. Abnahmeprozess kennt man zwei Werte. Stelle das Wachstums- bzw. Abnahmegesetz auf! a) N (3) = 84,38 , N (4) = 126,56 d) N (4) = 105,35 , N (5) = 102,19 b) N (3) = 3,43 , N (5) = 1,68 e) N (2) = 131,71 , N (4) = 165,22 c) N (1) = 57,6 , N (2) = 103,68 f) N (1) = 805,20 , N (6) = 68,01 4.25 Von einer Funktion f: R ¥ R kennt man einige Werte. Kann f eine Exponentialfunktion der Form f (x) = c · ax sein? Wenn ja, gib eine Termdarstellung an! Wenn nicht, begründe, warum dies nicht sein kann! a) x f (x) b) x f (x) c) x f (x) d) x f (x) e) x f (x) f) x f (x) 1 2 ‒ 1 0,1 0 1 1 6 – 1 2 ‒ 1 – 1 ‒ 2 0,25 0 0,3 1 2 2 9 2 0,25 1 – 4 3 8 2 3 3 10 3 13,5 3 0,125 3 0,3 4.26 Die Keime in der Kuhmilch vermehren sich exponentiell. In 1 cm3 Kuhmilch waren 3h nach dem Melken 66 000 Keime, 2 h später 1,1 Millionen Keime. Wie viele Keime waren es 2 bzw. 6 h nach dem Melken? 4.27 Ein Gewässer wurde mit einem Umweltgift verseucht, das durch chemische Zersetzung annähernd exponentiell abgebaut wird. In einem Liter Wasser sind zwei Jahre nach der Vergiftung noch 2 mg des Gifts, nach einem weiteren Jahr noch 1 mg vorhanden. Es sei N (t) die Giftmenge (in Milligramm pro Liter Wasser) t Jahre nach der Verseuchung. 1) Stelle eine Formel für N (t) auf! 2) Welche Giftmenge ist nach 4 Jahren bzw. nach 6 Jahren noch vorhanden? kompakt S. 86 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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