7 1.1 POTENZEN MIT EXPONENTEN AUS N* (2) a m _ a n = m Faktoren a · a · … · a __ a · a · … · a n Faktoren =a·a·…·a (m – n) Faktoren (3) (a m) n = am · am · … · am n Potenzen = (a · a · … · a) · (a · a · … · a) · … · (a · a · … · a) n Terme in Klammern zu je m Faktoren = a m · n In Worten: (1), (2) Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert (dividiert), indem man die Basis mit der Summe (Differenz) der Exponenten potenziert. (3) Eine Potenz wird potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert. Satz (Rechenregeln für Potenzen mit gleichem Exponenten) Für alle a, b * ℝ und alle n * ℕ* gilt: (1) (a · b) n = a n · b n (2) ( a _ b ) n = a n _ b n (für b ≠ 0) BEWEIS (1) (a · b) n = (a · b) · (a · b) · … · (a · b) n Terme in Klammern =(a·a·…·a) n Faktoren · (b · b · … · b) n Faktoren = a n · b n (2) ( a _ b ) n = a _ b · a _ b ·…· a _ b n Faktoren = a · a · … · a _ b · b · … · b = a n _ b n In Worten von links nach rechts gelesen: (1) Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor potenziert. (2) Ein Quotient wird potenziert, indem man Zähler und Nenner potenziert. In Worten von rechts nach links gelesen: (1) Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man das Produkt der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. (2) Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man den Quotienten der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. 1.02 Stelle den Term als eine Potenz dar! a) 3 4 · 3 8 b) 5 7 _ 5 3 c) (2 5) 4 d) 8 3 · 2 3 e) 10 4 _ 5 4 LÖSUNG a) 3 4 · 3 8 = 3 4 + 8 = 3 12 b) 5 7 _ 5 3 = 5 7 – 3 = 5 4 c) (2 5) 4 = 2 5 · 4 = 2 20 d) 8 3 · 2 3 = (8 · 2)3 = 16 3 e) 10 4 _ 5 4 = ( 10 _ 5 ) 4 = 2 4 1.03 Zeige: Ist a * R und n * N*, dann gilt: 1) (– a) n = a n, falls n gerade 2) (– a) n = –a n, falls n ungerade LÖSUNG (– a) n = (– a) · (– a) · … · (– a) n Faktoren Da zwei benachbarte Minuszeichen einander aufheben, folgt: 1) Ist n gerade, dann ist (– a) n = a n. 2) Ist n ungerade, dann ist (– a) n = – a n. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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