69 4.3 Anwendungen von Exponentialfunktionen 4.17 Eine ansteckende Tierkrankheit breitet sich in einem bestimmten Zeitraum annähernd exponentiell aus. Für die Anzahl N (t) der erkrankten Tiere nach t Tagen gilt ungefähr: N (t) = 20 · 1,03 t. a) Wie viele Tiere waren zum Zeitpunkt t = 0 erkrankt? b) Auf das Wievielfache steigt die Anzahl der erkrankten Tiere pro Tag? c) Um wie viel Prozent nimmt die Anzahl der erkrankten Tiere pro Tag zu? d) Auf das Wievielfache steigt die Anzahl der erkrankten Tiere in zwei Wochen? e) Um wie viel Prozent nimmt die Anzahl der erkrankten Tiere in zwei Wochen zu? f) Wie viele Tiere werden voraussichtlich in drei Wochen erkrankt sein? 4.18 Ein Pulver löst sich in Wasser so auf, dass nach t Sekunden nur mehr m (t) = 100 · 0,9t (in Gramm) des ungelösten Pulvers vorhanden sind. a) Wie viel Pulver wurde in das Wasser geschüttet? b) Auf welchen Bruchteil sinkt die Menge ungelösten Pulvers pro Sekunde? c) Um wie viel Prozent nimmt die Menge ungelösten Pulvers pro Sekunde ab? d) Auf welchen Bruchteil sinkt die Menge ungelösten Pulvers in einer Minute? e) Um wie viel Prozent nimmt die Menge ungelösten Pulvers pro Minute ab? 4.19 Ein Körper wird in einen Kühlraum gestellt und kühlt exponentiell ab, wobei für seine Temperatur T (t) nach t Minuten gilt: T (t) = 65 · 0,86t ( °C). a) Welche Temperatur hat der Körper zu Beginn? b) Auf welchen Bruchteil sinkt die Temperatur des Körpers pro Minute, auf welchen Bruchteil in 5 min? c) Um wie viel Prozent nimmt die Temperatur pro Minute ab, um wie viel Prozent in 10 min? d) Zeichne den Graphen der Funktion T, die jedem Zeitpunkt t (mit 0 ª t ª 10) die Temperatur T (t) des Körpers zuordnet! 4.20 Der Baumbestand eines Waldes nimmt erfahrungsgemäß um ca. 12% pro Jahr zu. Zu Beginn sind 268 Bäume im Wald. Es sei A (t) die Anzahl der Bäume nach t Jahren. a) Ermittle eine Termdarstellung der Funktion A, die jedem Zeitpunkt t die Anzahl A (t) der Bäume zuordnet, und zeichne ihren Graphen für 0 ª t ª 10! b) Wie viele Bäume sind nach 10 Jahren im Wald? 4.21 Der Luftdruck nimmt mit der Höhe exponentiell ab und zwar um ca. 0,0126 % pro Meter. Es sei p (h) der Luftdruck in der Meereshöhe h. Ermittle eine Formel für p (h) unter der Voraussetzung, dass der Luftdruck auf dem Meeresniveau p0 = 1 013 Hektopascal (hPa) beträgt! Wie groß ist nach dieser Formel der Luftdruck auf dem gegebenen Berg? a) Großglockner (3 798 m) c) Kilimandscharo (5 895 m) b) Montblanc (4 810 m) d) Mount Everest (8 850 m) 4.22 Wenn das Licht eines Autoscheinwerfers eine Nebelschicht durchdringt, nimmt seine Helligkeit mit zunehmender Entfernung vom Scheinwerfer exponentiell ab. Für die Helligkeit I (d) des Lichts in d Meter Entfernung vom Scheinwerfer gilt ungefähr: I (d) = I 0 · 0,8 d. Dabei ist I 0 die Helligkeit des Lichts beim Austritt aus dem Scheinwerfer. Wie viel Prozent an Helligkeit verliert das Licht auf einer Länge von a) 1 m, b) 5 m, c) 10 m, d) 20 m? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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