68 4 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTIONEN 4.3 Anwendungen von Exponentialfunktionen Exponentielle Wachstums- und Abnahmevorgänge R Wenn sich eine Größe N mit der Zeit exponentiell ändert, dann gilt für ihren Wert zum Zeitpunkt t: N (t) = N 0 · a t Dabei ist N 0 = N (0) der Anfangswert von N (Wert zum Zeitpunkt 0). • Für a > 1 liegt ein exponentieller Wachstumsprozess vor. • Für 0 < a < 1 liegt ein exponentieller Abnahmeprozess vor. Die Gleichung N (t) = N 0 · a t nennt man (exponentielles) Wachstums- bzw. Abnahmegesetz. 4.13 Die Einwohnerzahl einer Stadt erhöht sich annähernd exponentiell. Für die Einwohnerzahl N (t) gilt t Jahre nach Beginn der Beobachtung ungefähr: N (t) = 450 000 · 1,05 t. Man nimmt an, dass diese Formel mindestens 10 Jahre lang gültig bleibt. a) Was gibt die Zahl 450 000 an? b) Wie viele Einwohner wird die Stadt in 5 Jahren haben? c) Auf das Wievielfache wächst die Einwohnerzahl pro Jahr? d) Um wie viel Prozent erhöht sich die Einwohnerzahl pro Jahr? e) Auf das Wievielfache wächst die Einwohnerzahl in 10 Jahren? f) Um wie viel Prozent erhöht sich die Einwohnerzahl in 10 Jahren? LÖSUNG a) 450 000 ist die Einwohnerzahl zum Zeitpunkt t = 0. b) N (5) ≈ 574 327 c) auf das 1,05-Fache d) um 5 % e) 1,05 10 ≈ 1,63. Die Einwohnerzahl erhöht sich ca. auf das 1,63-Fache. f) um ca. 63 % 4.14 In einer Bakterienkultur, in der zu Beginn der Beobachtung etwa 10 000 Bakterien vorhanden sind, teilen sich die Bakterien ungefähr alle 3 Stunden. 1) Berechne im Kopf, wie viele Bakterien nach 12 h vorhanden sind! 2) Stelle ein Wachstumsgesetz der Form N (t) = N 0 · a t auf (t in h)! 3) Wie viele Bakterien sind nach 3 Tagen vorhanden? 4.15 Ein Bakterienstamm auf einer Nährlösung nimmt stündlich um ca. 11 % zu. Zu Beginn stellt man ca. 500 Bakterien fest. a) Ermittle eine Termdarstellung der Funktion N, die jedem Zeitpunkt t die Anzahl N (t) der Bakterien zuordnet und zeichne ihren Graphen für 0 ª t ª 8! b) Zeige, dass die Bakterienanzahl im Zeitintervall [0; 4] mit dem gleichen Faktor wie im Zeitintervall [4; 8] wächst! 4.16 Die Temperatur T in einem Raum ändert sich exponentiell gemäß der Gleichung T(t) = 22 · 0,96 t (t in h, T(t) in °C). Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Die Temperatur nimmt zu. Zum Zeitpunkt 0 beträgt die Temperatur 22 °C. Pro Stunde nimmt die Temperatur um 96% ab. Nach einer Stunde beträgt die Temperatur 21,12 °C. Nach zwei Stunden ist die Temperatur halb so groß wie nach einer Stunde. Ó Applet 3wh7ct AUFGABEN R Ó Arbeitsblatt 3wh94n Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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