67 4.2 Eigenschaften von Exponentialfunktionen BEWEIS: (1) f (x + 1) = c · a x + 1 = c · a x · a = f (x) · a (2) f(x+h)=c·a x + h = c · a x · a h = f (x) · a h (3) Setzen wir a = 1 ± p _ 100 , dann geht die Formel f (x + 1) = f (x) · a über in f (x + 1) = f (x) · (1 ± p _ 100 ). Dies bedeutet eine Erhöhung (Verminderung) von f (x) um p %. (4) S etzen wir a h = 1 ± p h _ 100 , dann geht die Formel f (x + h) = f (x) · a h über in f(x+h)=f(x)·(1 ± p h _ 100 ). Dies bedeutet eine Erhöhung (Verminderung) von f (x) um p h %. Merke Exponentielles Wachsen bzw. Abnehmen bedeutet: Gleiche Zunahme der Argumente bewirkt stets gleiche Zu- bzw. Abnahme der Funktionswerte mit dem gleichen Faktor bzw. um den gleichen Prozentsatz vom Ausgangswert. Deutung der Parameter c und a R Merke Für eine Exponentialfunktion f mit f (x) = c · a x (c * ℝ*, a * ℝ +) gilt: • c = f (0) = Funktionswert von f an der Stelle 0. • a = Faktor, mit dem f (x) multipliziert wird, wenn x um 1 erhöht wird. 4.09 Gegeben ist die streng monoton steigende Exponentialfunktion f mit f (x) = 5 · 1,05 x. a) Wie groß ist f (0)? b) Mit welchem Faktor bzw. um wie viel % nimmt f (x) zu, wenn x um 1 erhöht wird? c) Mit welchem Faktor bzw. um wie viel % nimmt f (x) zu, wenn x um 3 erhöht wird? LÖSUNG a) f(0) = 5 b) Mit dem Faktor 1,05 bzw. um 5 %. c) Mit dem Faktor 1,05 3 ≈ 1,158 bzw. um ca. 15,8 %. 4.10 Gegeben ist die streng monoton fallende Exponentialfunktion f mit f (x) = 7 · 0,96 x. a) Interpretiere die Zahl 7 in der Funktionsgleichung! b) Mit welchem Faktor bzw. um wie viel % nimmt f (x) ab, wenn x um 1 erhöht wird? c) Mit welchem Faktor bzw. um wie viel % nimmt f (x) ab, wenn x um 10 erhöht wird? LÖSUNG a) 7 = f (0) b) Mit dem Faktor 0,96 bzw. um 4%. c) Mit dem Faktor 0,96 10 ≈ 0,665 bzw. um ca. 33,5 %. 4.11 Mit welchem Faktor wächst bzw. fällt f (x), wenn x um 1 erhöht wird? Um wie viel Prozent nimmt f (x) dabei zu bzw. ab? a) f (x) = 2x b) f (x) = 10 · 1,5x c) f (x) = 0,5x d) f (x) = 100 · 0,85x 4.12 Mit welchem Faktor wächst bzw. fällt f (x), wenn x um 5 erhöht wird? Um wie viel Prozent nimmt f (x) dabei zu bzw. ab? a) f (x) = 3 x b) f (x) = 0,5 · 1,1 x c) f (x) = 0,6 x d) f (x) = 14 · 0,95 x AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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