64 4 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTIONEN Satz (Eigenschaften einer Exponentialfunktionen f mit f (x) = a x) (1) Alle Funktionswerte sind positiv. (2) f (0) = 1, dh. der Graph geht durch den Punkt (0 1 1). (3) Die Funktion f ist – streng monoton steigend für a > 1 – streng monoton fallend für 0 < a < 1 – konstant für a = 1 (4) Für a ≠ 1 ist die x-Achse eine Asymptote des Graphen von f. (5) Die Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = a x und g (x) = ( 1 _ a ) x liegen symmetrisch bezüglich der 2. Achse. BEWEIS (1) folgt aus den Definitionen von a x mit a * ℝ+. (2) f (0) = a 0 = 1 (3) • F ür a > 1 gilt: x 1 < x 2 w x 2 – x 1 > 0 w a x 2 – x 1 > 1 w a x 2 _ a x 1 > 1 w a x 1 < a x 2 w f (x 1) < f (x2) • Für 0 < a < 1 gilt: x 1 < x 2 w x 2 – x 1 > 0 w a x 2 – x 1 < 1 w a x 2 _ a x 1 < 1 w a x 1 > a x 2 w f (x 1) > f (x2) • F ür a = 1 gilt: f (x) = 1 x = 1 (4) • F ür a > 1 ist f streng monoton steigend und für genügend kleines x ist a x kleiner als jede noch so kleine positive Zahl ε, denn es gilt: a x < ε É x · log 10a ⏟ > 0 < log10ε É x < log10ε _ log10a • F ür 0 < a < 1 ist f streng monoton fallend und für genügend großes x ist a x kleiner als jede noch so kleine positive Zahl ε, denn es gilt: a x < ε É x · log 10a ⏟ < 0 < log10ε É x > log10ε _ log10a (5) Für alle x * ℝ gilt: f (x) = a x = ( 1 _ a ) – x = g (– x) Satz Für alle Exponentialfunktionen f und g der Form f (x) = c · a x bzw. g (x) = c · ( 1 _ a ) x mit c > 0 gelten die Eigenschaften (1), (3), (4) und (5) des vorigen Satzes unverändert, jedoch gilt statt (2): (2’) f (0) = c, dh. der Graph von f geht durch den Punkt (0 1 c). BEWEIS (1) Folgt aus den Definitionen von ax mit a * R+ und c > 0. (2’) f (0) = c · a0 = c · 1 = c (3) • F ür a > 1 gilt: x1 < x2 w a x1 < a x2 (siehe Beweis oben); da c > 0 ist, gilt auch c · ax1 <c·ax2 w f (x 1) < f (x2) • Für 0 < a < 1 gilt: x1 < x2 w a x1 > a x2 (siehe Beweis oben); da c > 0 ist, gilt auch c · ax1 >c·ax2 w f (x 1) > f (x2) • Für a =1 gilt: f(x) = c·1x = c Die Beweise zu (4) und (5) können analog zu entsprechenden Beweisen des vorherigen Satzes geführt werden. Ó Applet 3w8f2w ( )1 2 x ( )1 3 x( )1 4 x 1x 4x 3x 2x – 1 1 0 10 5 x f(x) Ó Lernapplet 3wb5xm Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=