63 4.1 Exponentialfunktionen In der letzten Aufgabe haben wir die Formel A (n) = 1 000 · 1,45n nur für natürliche n hergeleitet. Wie verläuft der Graph von A aber zwischen den vollen Stunden? Die Beobachtung zeigt, dass das Zellwachstum ein Prozess ist, der kontinuierlich ohne Stillstände und abrupte Änderungen vor sich geht. Ein solcher Prozess wird am besten beschrieben, wenn man die Annahme trifft, dass A (t) = 1 000 · 1,45 t für beliebige t * ℝ 0 + gilt. Damit liegt folgende Funktion vor: A: ℝ 0 + ¥ ℝ 1 t ¦ 1 000 · 1,45 t Der Graph dieser Funktion ist nebenstehend dargestellt. Das Wachstum der Bakterien kann allerdings nicht unbeschränkt erfolgen, weil den Bakterien früher oder später der Nährboden ausgeht. Die Formel A (t) = 1 000 · 1,45t gilt also nur bis zu einer gewissen Zeitschranke T, die von den jeweiligen Laborbedingungen abhängt. Mit dieser Einschränkung liegt folgende Funktion vor: A: [0; T] ¥ R 1 t ¦ 1 000 · 1,45t 4.02 Die Bakterienkultur ist bereits 7000 mm2 groß. Man stellt fest, dass durch Zugabe eines Antibiotikums die Bakterien absterben, wobei die Fläche in jeder Stunde um etwa 35 % kleiner wird. Es sei A (n) der Inhalt dieser Fläche nach n Stunden. 1) Berechne A (n) für n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 und stelle eine Formel für A (n) auf! 2) Schreibe eine Formel für A (t) mit t * R 0 + auf und zeichne den Graphen der Funktion A, die jedem Zeitpunkt t den Flächeninhalt A (t) der Bakterienkultur zuordnet! LÖSUNG 1) Wird eine Größe G um 35 % vermindert, so gilt: G–35%vonG=65%vonG=65 _ 100 ·G=0,65·G Wir erhalten: A(0) = 7000 A (1) = A (0) · 0,65 = 7 000 · 0,65 = 4 550 A (2) = A (1) · 0,65 = (7 000 · 0,65) · 0,65 = 7 000 · 0,652 ≈ 2 960 A (3) = A (2) · 0,65 = (7 000 · 0,652) · 0,65 = 7 000 · 0,653 ≈ 1 920 A (4) = A (3) · 0,65 = (7 000 · 0,653) · 0,65 = 7 000 · 0,654 ≈ 1 250 A (5) = A (4) · 0,65 = (7 000 · 0,654) · 0,65 = 7 000 · 0,655 ≈ 810 A (n) = 7 000 · 0,65n 2) A (t) = 7 000 · 0,65t Es liegt folgende Funktion vor: A: R 0 + ¥ R 1 t ¦ 7 000 · 0,65t Der Graph dieser Funktion ist nebenstehend dargestellt. Die Funktionen in den letzten beiden Aufgaben waren beide von der Form f (x) = c · a x mit c * ℝ* und a * ℝ +. Definition Eine reelle Funktion f: A ¥ ℝ mit f (x) = c · a x (c * ℝ*, a * ℝ +) heißt Exponentialfunktion mit der Basis a. BEMERKUNG Bei einer Exponentialfunktion muss a > 0 vorausgesetzt werden, weil die Potenz a x für a ª 0 nicht immer definiert ist. ZB ist (–1) 0,5 = � _ – 1 oder 0 0 nicht definiert. 1 2 3 4 5 1 000 2000 3 000 4 000 5 000 t 7 000 6 000 A(t) 0 1 2 3 4 5 t A(t) 0 6 7 8 1 000 2000 3 000 4 000 5 000 7 000 6 000 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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