61 KOMPETENZCHECK 3.49 Potenzfunktionen und Polynomfunktionen Gegeben sind acht Funktionen f 1 , f 2 , … f 8 f 1 (x) = (x – 2) 3 + 1 f 2 (x) = 3 � __ x 2 f 3 (x) = – x 4 f 4 (x)=2–5x–x 2 f 5 (x) = x(x – 2)(x + 3) f 6 (x) = 3x 7 f 7 (x) = x f 8 (x) = 1 a) 1) Welche dieser Funktionen sind Polynomfunktionen? Von welchem Grad sind sie? 2) Welche dieser Funktionen sind Potenzfunktionen? b) 1) Gib für jede der angegebenen Funktionen die größtmögliche Definitionsmenge und die zugehörige Wertemenge an! 2) Welche der angegebenen Funktionen sind in der gesamten Definitionsmenge streng monoton, welche nur monoton, welche nicht monoton? c) 1) Welche der angegebenen Funktionen besitzen mindestens eine lokale Extremstelle? 2) Zu welchen der angegebenen Funktionen gehören die beiden folgenden Graphen? Beschrifte die Graphen! 1 2 3 4 1 2 3 –1 0 1 2 3 4 1 2 3 –1 0 3.50 Planeten und Satelliten Der Astronom Johannes Kepler (1571 –1630) veröffentlichte drei Gesetze, mit denen sich die Bewegungen der Planeten um die Sonne beschreiben lassen. Das dritte Kepler’sche Gesetz lautet: Die Quadrate der Umlaufzeiten T 1 und T 2 zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der mittleren Entfernungen r 1 und r 2 von der Sonne: T 1 2 _ T 2 2 = r 1 3 _ r 2 3 a) 1) Gib an, von welchem Typ die Funktionen f: T 1 ¦ T 2 (mit r 1 , r 2 konstant) und g: r 1 ¦ r 2 (mit T 1 , T 2 konstant) jeweils sind! 2) D ie Funktion h: r 1 ¦ T 1 (mit r 2 , T 2 konstant) ist eine Potenzfunktion vom Typ h (x) = c · x z. Drücke c durch r 2 und T 2 aus und gib den Wert von z an! b) 1) Der mittlere Abstand der Erde von der Sonne beträgt 1 AE, der des Jupiters von der Sonne 5,2 AE (1 AE = 1 astronomische Einheit ≈ 1,5 · 10 8 km). Berechne, wievielmal länger ein Jupiterjahr (Zeit für einen Umlauf um die Sonne) ist als ein Erdenjahr! 2) Das dritte Kepler’sche Gesetz gilt nicht nur für Planeten, die die Sonne umkreisen, sondern analog für unseren Mond oder künstliche Satelliten, die die Erde umkreisen. Wir vergleichen beispielsweise unseren Mond (T M ≈ 655 h, r M ≈ 384 000 km) mit einem geostationären Satelliten, der sich in konstanter Entfernung über einem Punkt der Erdoberfläche befinden und sich mit der Erde um die Erdachse drehen soll (T S = 24 h). In welcher Entfernung rs von der Erdoberfläche muss ein solcher Satellit positioniert werden (Erdradius ≈ 6 371 km)? Runde das Ergebnis auf 10 km! R Aufgaben vom Typ 2 AG-R 1.2 AG-R 2.1 AG-R 2.2 AG-R 2.2 AG-R 2.1 FA-R 1.2 FA-R 1.7 FA-R 3.1 Johannes Kepler (1571 – 1630) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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