57 3.4 ���������������������������� In der letzten Aufgabe haben wir die Frage gestellt, welcher Verkaufsleiter besser gearbeitet hat. Wir haben gesehen, dass diese Frage nicht eindeutig beantwortet werden kann, da die einzelnen Maße unterschiedliche mathematische Modelle für die vorliegende Situation darstellen und unterschiedliche mathematische Modelle durchaus zu verschiedenen Ergebnissen führen können. Jedes Maß berücksichtigt einige Aspekte, vernachlässigt aber andere Aspekte. Die in der letzten Aufgabe verwendeten Maße haben in der Mathematik eigene Namen: Definition Sei f eine auf einem Intervall [a; b] definierte reelle Funktion. Die reelle Zahl • f(b) – f(a) heißt absolute Änderung (oder kurz Änderung) von f in [a; b], • f(b) – f(a) _ f (a) heißt relative Änderung von f in [a; b], • f(b) – f(a) _ b – a heißt mittlere Änderungsrate (oder Differenzenquotient) von f in [a; b], • f (b) _ f (a) heißt Änderungsfaktor von f in [a; b]. In Worten: • Die absolute Änderung ist gleich der Differenz der Funktionswerte. • Die relative Änderung ist gleich dem Verhältnis der Änderung der Funktionswerte zum Ausgangsfunktionswert. • Die mittlere Änderungsrate (der Differenzenquotient) ist gleich dem Verhältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente. • Der Änderungsfaktor ist das Verhältnis vom Endfunktionswert zum Anfangsfunktionswert. Er ist der Faktor, mit dem der Anfangsfunktionswert multipliziert werden muss, um den Endfunktionswert zu erhalten. 3.34 Merve und Elgin betreiben zwei Bio-Bauernhöfe. Elgin berichtet ganz stolz: „Ich konnte meinen Ertrag auf 110 % steigern!“ Merve antwortet etwas kleinlaut: „Mein Ertrag ist nur um 20 % gestiegen.“ Wer konnte hier den Ertrag stärker steigern? Begründe deine Antwort! 3.35 Gib die absolute Änderung, die relative Änderung, die mittlere Änderungsrate und den Änderungsfaktor der Funktion f im Intervall [0; 2] an! a) f(x) = 2x + 2 b) f(x) = –3x + 2 c) f(x) = 4x + 5 d) f (x) = x2 + 2 e) f (x) = x3 + 3 3.36 Am 1. Jänner 2019 hatte Österreich 8 858775 Einwohner, am 1. Jänner 2023 bereits 9104772 Einwohner. Berechne die absolute Änderung, die relative Änderung, die mittlere Änderungsrate und den Änderungsfaktor im Zeitraum von 2019 bis 2023! 3.37 Laut dem vom Bundeskriminalamt Österreich herausgegebenen Bericht „Polizeiliche Kriminalstatistik 2022“ gab es 546 396 Anzeigen im Jahr 2013, aber nur mehr 410 957 Anzeigen im Jahr 2021. a) Berechne die absolute Änderung, die relative Änderung, die mittlere Änderungsrate und den Änderungsfaktor der Anzahl der Anzeigen im Zeitraum von 2013 bis 2021! b) Im Jahr 2013 betrug die Aufklärungsquote 43,1 %, im Jahr 2021 bereits 55,3 %. Um wie viel Prozentpunkte bzw. um wie viel Prozent hat sich die Aufklärungsquote von 2021 gegenüber 2013 gesteigert? AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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