50 3 REELLE FUNKTIONEN • Potenzfunktionen mit Exponenten m _ n * Q\Z: 1 2 3 4 1 2 3 4 5 x f(x) x 3 2 x 5 2 x 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 x x 3 2 f(x) x 5 2 x – – – 1 2 f (x) = x m _ n , m _ n > 0 – g rößtmöglicher Definitionsbereich: R 0 + – s treng monoton steigend in R 0 + – a lle Graphen gehen durch (1 1 1) f (x) = x m _ n , m _ n < 0 – g rößtmöglicher Definitionsbereich: R+ – s treng monoton fallend in R+ – a lle Graphen gehen durch (1 1 1) Im folgenden Satz sind einige Eigenschaften für Potenzfunktionen mit Exponenten aus ℕ* angeführt. Die Beweise findet man im Anhang auf Seite 283. Satz (Eigenschaften von Potenzfunktionen mit Exponenten aus ℕ*) (1) Alle Graphen gehen durch die Punkte (0 1 0) und (1 1 1). Für gerades n gehen alle Graphen durch (–1 1 1), für ungerades n durch (–1 1 – 1). (2) f ist in R 0 + streng monoton steigend. (3) f ist in R 0 – streng monoton fallend, falls n gerade ist, und streng monoton steigend, falls n ungerade ist. Satz Der Graph einer Potenzfunktion f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = x n (n * ℕ*) ist • symmetrisch bezüglich der 2. Achse, wenn n gerade ist, • symmetrisch bezüglich des Ursprungs, wenn n ungerade ist. BEWEIS F ür gerades n und alle x * ℝ gilt: f (– x) = (– x) n = x n = f (x) Für ungerades n und alle x * ℝ gilt: f (– x) = (– x) n = – x n = – f (x) Funktionen mit solchen Symmetrieeigenschaften haben eigene Namen: Definition Eine reelle Funktion f: A ¥ ℝ heißt • gerade, wenn für alle x * A gilt: f (– x) = f (x) • ungerade, wenn für alle x * A gilt: f(–x) = –f(x) Demgemäß ist eine Potenzfunktion f mit f (x) = x n (n * ℕ*) gerade, wenn n gerade ist, und ungerade, wenn n ungerade ist. • Wurzelfunktionen Wurzelfunktionen sind spezielle Potenzfunktionen von der Form f: ℝ 0 + ¥ ℝ 0 + mit f (x) = n � _ x = x 1 _ n (n * ℕ*). Diese Funktionen sind streng monoton steigend in ℝ 0 + . Alle Graphen gehen durch die Punkte (0 1 0) und (1 1 1). f x gerade ungerade – x f x – x Ó Applet 3v3rn2 1 0 2 3 4 1 2 x f(x) 4 3 √x √x √x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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