48 3 REELLE FUNKTIONEN Definition Sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion • Ist p eine lokale Maximumstelle von f, so nennt man den Punkt H = (p 1 f (p)) einen Hochpunkt des Graphen von f. • Ist p eine lokale Minimumstelle von f, so nennt man den Punkt T = (p 1 f (p)) einen Tiefpunkt des Graphen von f. • Ein Punkt (p 1 f (p)) heißt Extrempunkt des Graphen von f, wenn er ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt des Graphen von f ist. BEACHTE • Zwischen einer Extremstelle p und einem Extrempunkt (p 1 f (p)) besteht ein Unterschied. Eine Stelle entspricht einer Zahl, ein Punkt entspricht einem Zahlenpaar. • Der Graph einer Funktion f kann mehrere Hoch- oder Tiefpunkte besitzen, muss aber solche Punkte nicht unbedingt aufweisen. 3.17 Gib alle globalen und lokalen Extremstellen der Funktion f: [0; 6] ¥ ℝ an! a) 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 6 5 f 6 f(x) x b) 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 6 5 f 6 f(x) x c) 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 6 5 f 6 f(x) x 3.18 Zeichne den Graphen der Funktion f: ℝ ¥ ℝ! Ermittle mit Technologieeinsatz die lokalen Extremstellen und gib die dazugehörigen Extrempunkte an! a) f (x) = 1 _ 18 · (x 4 + 4 x 3 – 12x 2 – 32 x – 17) c) f (x) = 1 _ 64 · (x 4 + 8 x 3) b) f (x) = – 0,5 · (x 4 – 8 x 2 + 5) d) f(x) = –x 4 + 4 x 3 – 6 x 2 + 4 x 3.19 Skizziere den Graphen einer Funktion f: [– 4; 4] ¥ ℝ mit folgenden Eigenschaften: a) Die Funktion f besitzt die lokalen Minimumstellen – 3 und 2 sowie die lokale Maximumstelle 0. b) Der Graph von f besitzt die Hochpunkte H 1 = (– 1 1 3) und H 2 = (3 1 1) sowie die Tiefpunkte T 1 = (– 2 1 2) und T 2 = (1 1 – 2). 3.20 In der Abbildung ist eine Funktion f: [– 2; 4] ¥ ℝ dargestellt. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Die Funktion f besitzt 3 lokale Extremstellen. Die Funktion f besitzt 4 globale Extremstellen. Die Stelle 3 ist eine lokale Minimumstelle von f. Der Punkt (– 2 1 4) ist ein Hochpunkt des Graphen von f. An der Stelle 0 ändert sich das Monotonieverhalten von f. AUFGABEN R Ó Arbeitsblatt 3ud5mf Ó Lernapplet 3uh3tq x f(x) 1 2 3 4 5 –3 –2 –1 1 2 3 4 –3 –2 –1 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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