47 3.1 Monotonie und Extremstellen von Funktionen Lokale Extremstellen R In der Abbildung ist eine Funktion f dargestellt, die nur im Intervall [0; 6] definiert ist. 0 1 2 1 2 3 4 5 6 3 4 5 f f(x) x Wir stellen fest: • Die Stelle 0 ist eine globale Maximumstelle von f. • Die Stelle 6 ist eine globale Minimumstelle von f. • Die Stelle 2 ist keine globale Minimumstelle von f, weil es im Definitionsbereich von f kleinere Funktionswerte als f (2) gibt. Sie ist aber eine Minimumstelle von f in einer gewissen „Umgebung“ der Stelle 2, etwa in [1; 3]. • Die Stelle 4 ist keine globale Maximumstelle von f, weil es im Definitionsbereich von f größere Funktionswerte als f (4) gibt. Sie ist aber eine Maximumstelle von f in einer gewissen „Umgebung“ der Stelle 4, etwa in [3; 5]. Eine Stelle p einer Funktion f: A ¥ ℝ, die nur Extremstelle in einer gewissen Umgebung von p ist, nennt man eine lokale Extremstelle von f. Definition Sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion. Eine Stelle p * A heißt • lokale Maximumstelle von f, wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Maximumstelle von f in U (p) ist, • lokale Minimumstelle von f, wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Minimumstelle von f in U (p) ist, • lokale Extremstelle von f, wenn sie eine lokale Maximum- oder Minimumstelle von f ist. BEACHTE • Ist A ein Intervall der Form [a; b], (a; b], [a; b) oder (a; b), dann bezeichnet man die Stellen a und b als Randstellen von A und alle Stellen x mit a < x < b als innere Stellen von A. (Analoges gilt, wenn A eine Vereinigung von Intervallen der genannten Formen ist.) • Unter einer Umgebung U(p) einer Stelle p verstehen wir in diesem Buch ein beliebiges Intervall, für welches p eine innere Stelle ist. Die Umgebung U (p) erstreckt sich also sowohl nach links als auch nach rechts von p, muss aber nicht symmetrisch um p liegen. • Ist p eine lokale Extremstelle einer Funktion f, dann muss nach der obigen Definition die Umgebung U (p) ganz im Definitionsbereich A von f liegen. Somit gilt nach dieser Definition: Eine Randstelle des Definitionsbereichs A von f kann keine lokale Extremstelle von f sein (wohl aber unter Umständen eine globale Extremstelle von f). kompakt S. 58 U(p) p Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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