46 3 REELLE FUNKTIONEN Globale Extremstellen quadratischer Funktionen R Wir erinnern uns (siehe Mathematik verstehen 5, S. 161): • Der Graph einer quadratischen Funktion f mit f (x) = a x 2 + b x + c ist eine Parabel mit dem Scheitel S = (– b _ 2 a | f (– b _ 2 a )) . Die Parabel ist nach oben offen, wenn a > 0 ist, und nach unten offen, wenn a < 0 ist. • Der Graph einer quadratischen Funktion f mit f (x) = x 2 + p x + q ist eine nach oben offene Parabel mit dem Scheitel S = (– p _ 2 | f(– p _ 2 )) . • Sofern f zwei Nullstellen x 1 und x 2 besitzt, ist die erste Koordinate des Scheitels der Mittelwert der beiden Nullstellen, also S = ( x 1 + x 2 _ 2 | f ( x 1 + x 2 _ 2 )) . Daraus folgt: Die erste Koordinate des Scheitels ist eine globale Extremstelle von f. 3.14 Ermittle ohne Technologieeinsatz die globalen Extremstellen der quadratischen Funktion f: ℝ ¥ ℝ mit f (x) = x 2 –6x+8! 1. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT Der Graph von f ist eine nach oben offene Parabel mit dem Scheitel S = (3 1 –1). Rechne nach! Somit ist 3 die einzige globale Minimumstelle von f. 2. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT Der Graph von f ist eine nach oben offene Parabel. Die Gleichung x 2 – 6 x + 8 = 0 hat die Lösungen 2 und 4. Rechne nach! Somit hat f die Nullstellen 2 und 4. Die erste Koordinate des Scheitels ist der Mittelwert der beiden Nullstellen 2 und 4, also 3. Somit ist 3 die einzige globale Minimumstelle von f. 3.15 Wird ein Körper mit der Abschussgeschwindigkeit v0 vom Erdboden senkrecht nach oben geschossen, so ist seine Höhe h (in Meter) nach t Sekunden durch h (t) = v0t – g _ 2 t 2 gegeben. Dabei ist g ≈ 10 m/s2 die Erdbeschleunigung. Für die Abschussgeschwindigkeit v 0 = 30 m/s gilt somit näherungsweise: h (t) = 30t – 5t2. 1) Nach welcher Zeit schlägt der Körper wieder auf dem Boden auf? 2) Zeichne den Graphen der Funktion h: t ¦ h (t)! 3) Nach welcher Zeit erreicht der Körper seine größte Höhe? Wie groß ist diese? LÖSUNG 1) Der Körper befindet sich auf dem Boden, wenn h (t) = 0 ist. h (t) = 0 É 30t – 5t2 = 0 É 5t(6 – t) = 0 É t = 0 = t = 6 Der Zeitpunkt t = 0 entspricht dem Abschuss, der Zeitpunkt t = 6 dem Aufschlag des Körpers. Der Körper schlägt also nach 6s wieder auf dem Boden auf. 2) Der Graph von h ist rechts dargestellt. 3) Der Graph von h ist eine nach unten offene Parabel mit dem Scheitel S = ( 0 + 6 _ 2 | h ( 0 + 6 _ 2 )) = (3 1 h (3)) = (3 1 45). Somit erreicht der Körper nach 3 s seine größte Höhe. Diese beträgt 45 m. 3.16 Wie Aufgabe 3.15 für a) v 0 = 15 m/s, b) v 0 = 40 m/s. Ó Applet 3uc75r t h(t) h 10 20 30 40 0 1 2 3 4 5 6 50 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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