45 3.1 Monotonie und Extremstellen von Funktionen 3.11 Der Graph einer Funktion f geht durch die Punkte (0 1 0) und (5 1 5). Karla behauptet, dass f streng monoton steigend sein muss. Stimmt das? Begründe oder widerlege durch einen passenden Graphen! Globale Extremstellen R Bei der Untersuchung einer Funktion interessiert man sich oft für jene Stellen, an denen die Funktion den größten bzw. kleinsten Wert annimmt. BEISPIEL Die nebenstehend dargestellte Funktion f nimmt im Intervall [1; 6] an den Stellen 2 und 6 ihren größten Wert und an der Stelle 4 ihren kleinsten Wert an. Man bezeichnet die Stellen 2 und 6 als Maximumstellen von f in [1; 6] und die Stelle 4 als Minimumstelle von f in [1; 6]. Definition Sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion und M a A. Eine Stelle p * M heißt • Maximumstelle von f in M, wenn f (x) ª f (p) für alle x * M, • Minimumstelle von f in M, wenn f (x) º f (p) für alle x * M. Eine Stelle p * M heißt Extremstelle von f in M, wenn sie eine Maximum- oder Minimumstelle von f in M ist. Definition Eine Extremstelle von f im gesamten Definitionsbereich von f bezeichnet man kurz als globale Extremstelle von f. BEACHTE Eine Funktion f muss keine globale Extremstelle besitzen. 3.12 Die dargestellte Funktion f ist im Intervall [– 4; 4] definiert. Gib alle Maximum- und Minimumstellen von f in diesem Intervall an! a) x f(x) 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 0 f b) x f(x) 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 0 f 3.13 Gegeben sind die Funktionen: f 1: ℝ ¥ ℝ 1 x ¦ 2, f 2: ℝ ¥ ℝ 1 x ¦ 2x und f 3: ℝ ¥ ℝ 1 x ¦ x 2. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! f 1 besitzt mindestens eine globale Extremstelle. f 2 besitzt eine globale Maximumstelle. f 2 besitzt eine globale Minimumstelle. f 3 besitzt eine globale Maximumstelle. f 3 besitzt eine globale Minimumstelle. x f(x) 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 f 6 AUFGABEN R Ó Lernapplet 3uc5dw Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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