44 3 REELLE FUNKTIONEN 3.04 Es sei a < b < c < d. Zeichne den Graphen einer Funktion, die a) in [a; b] streng monoton fallend, in [b; c] streng monoton steigend und in [c; d] streng monoton fallend ist, b) in [a; b] streng monoton steigend, in [b; c] streng monoton fallend und in [c; d] streng monoton steigend ist, c) in [a; b] streng monoton steigend, in [b; c] monoton steigend und in [c; d] streng monoton fallend ist, d) in [a; b] monoton steigend, in [b; c] streng monoton fallend und in [c; d] monoton steigend ist, e) in [a; b] streng monoton fallend, in [b; c] konstant und in [c; d] wieder streng monoton fallend ist! 3.05 Gibt es eine Funktion f: ℝ ¥ ℝ, die gleichzeitig monoton steigend und monoton fallend ist? Wenn ja, gib eine solche an! 3.06 Beweise: Ist f streng monoton steigend in M, dann gilt für alle x, y * M: a) f (x) ª f (y) w x ª y b) f (x) < f (y) w x < y LÖSUNG ZU a) Sei f (x) ª f (y). Wäre x > y, dann wäre wegen des strengen monotonen Steigens von f auch f (x) > f (y), im Widerspruch zur Voraussetzung f (x) ª f (y). Also gilt x ª y. 3.07 Beweise: Ist f streng monoton fallend in M, dann gilt für alle x, y * M: a) f (x) º f (y) w x ª y b) f (x) > f (y) w x < y 3.08 Was kann über das Monotonieverhalten einer Funktion f im Intervall [– 4; 5] ausgesagt werden, wenn f (– 3) = –7, f (0) = – 2 und f (3) = – 5 ist? Begründe die Antwort! LÖSUNG Die Funktion f kann in [– 4; 5] nicht monoton steigend sein, denn es ist 0 < 3, aber f (0) > f (3). Die Funktion f kann in [– 4; 5] auch nicht monoton fallend sein, denn es ist – 3 < 0, aber f (– 3) < f (0). Die Funktion f ist also in [– 4; 5] nicht monoton. 3.09 Was kann über das Monotonieverhalten einer Funktion f im Intervall [0; 5] ausgesagt werden, wenn folgende Funktionswerte gegeben sind? Begründe die Antwort! a) f(1) = 3, f(4) = 2 d) f(2) = 1, f(3) = 6, f(4) = 9 g) f (x) = 5 für alle x * [0; 5] b) f(0) = 7, f(5) = –7 e) f(3) = 1, f(4) = 5, f(5) = –1 h) f (x) < f (5) für alle x * [0; 5] c) f(3) = f(4) = 3 f) f(1) = 8, f(2) = –3, f(5) = 10 i) f (x) º f (5) für alle x * [0; 5] 3.10 Zeichne den Graphen der Funktion f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = 3 – (x – 1) 2 und kreuze die beiden richtigen Aussagen an! f ist monoton in ℝ. f ist streng monoton fallend in ℝ 0 + . f ist streng monoton steigend in [–1; 1]. f ist streng monoton fallend in [1; •). An der Stelle 0 ändert sich das Monotonieverhalten von f. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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