41 KOMPETENZCHECK 2.45 Ungleichungen mit natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen Ist die Grundmenge eine echte Teilmenge der reellen Zahlen, so ist dies bei der Lösungsmenge zu berücksichtigen. a) 1) Ermittle alle natürlichen Zahlen n, für die das Dreifache größer ist als das um 10 vermehrte Doppelte! Gib die Lösungsmenge L an! 2) Ermittle alle geraden natürlichen Zahlen g, für welche die Summe aus g und der nachfolgenden geraden natürlichen Zahl höchstens 12 ergibt! Gib die Lösungsmenge L an! b) 1) Ermittle alle ganzen Zahlen z, deren Hälfte kleiner ist als der um 1 vermehrte vierte Teil von z! Gib die Lösungsmenge L an! c) 1) Ermittle alle rationalen Zahlen q, für die der um 1 _ 2 verminderte dritte Teil von q größer ist als die um 1 _ 3 verminderte Hälfte von q! Gib die Lösungsmenge L an! 2.46 Die Bernoulli-Ungleichung Die folgende Ungleichung geht auf den Mathematiker Jakob Bernoulli (1655 – 1705) zurück. Bernoulli-Ungleichung Für alle x * ℝ mit x º –1 und alle n * ℕ* gilt: (1 + x) n º 1 + n · x a) 1) Zeige: Die Bernoulli-Ungleichung gilt für n = 1 und n = 2! 2) Stelle die Bernoulli-Ungleichung für n = 2 grafisch dar! b) 1) Aus der Gültigkeit der Bernoulli-Ungleichung für n = 2 kann man in folgender Weise auf die Gültigkeit für n = 3 schließen: (1 + x) 3 = (1 + x) 2 ·(1+x)º(1+2x)·(1+x)=… Setze selbst fort! c) 1) In der nebenstehenden Abbildung ist die Bernoulli-Ungleichung für ein n * ℕ* grafisch dargestellt. Ermittle dieses n und schreibe die entsprechende Bernoulli-Ungleichung an! 1. A. 2. A. 1 2 3 4 5 6 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 –1 0 n = Ungleichung: R Aufgaben vom Typ 2 REDUZIERTER KONTEXT AG-R 2.4 AG-R 2.4 FA-R 1.2 Jakob Bernoulli (1655 – 1705) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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