38 2 UNGLEICHUNGEN Grafisches Darstellen von Ungleichungen mittels Funktionsgraphen L Die Lösungsmenge von linearen und quadratischen Ungleichungen kann auch mithilfe von Funktionsgraphen ermittelt werden. 2.30 Für welche x * ℝ gilt 3 – 6x <15? LÖSUNG 3–6x<15 1 : 3 1–2x<5 1 – 1 –2x < 4 1 : (– 2) x > – 2 Alle reellen Zahlen, die größer als – 2 sind, sind Lösungen der Ungleichung. Somit gilt: L = {x * ℝ † x > –2} = (–2; •) Nebenstehend ist der Graph der Funktion f mit f(x) = 3 – 6 x dargestellt. Daraus kann die Lösungsmenge auch grafisch ermittelt werden. 2.31 Für welche x * ℝ gilt: a) x 2 –5x+6>0 b) x 2 –5x+4<0 LÖSUNG a) D ie quadratische Gleichung x 2 – 5 x + 6 = 0 hat die Lösungen 2 und 3. Rechne nach! Somit kann die gegebene Ungleichung nach dem Satz von Vieta so geschrieben werden: (x – 2) · (x – 3) > 0 Diese Ungleichung ist genau dann erfüllt, wenn beide Klammerausdrücke negativ oder beide positiv sind, dh. wenn gilt: [x – 2 < 0 ? x – 3 < 0] = [x – 2 > 0 ? x – 3 > 0] [x < 2 ? x < 3] = [x > 2 ? x > 3] [x < 2 = x > 3 Somit ergibt sich die Lösungsmenge: L = {x * ℝ ‡ x < 2 = x > 3} = (– •; 2) ± (3; •) Grafisch betrachtet besteht die Lösungsmenge L aus jenen Bereichen auf der x-Achse, in denen der Graph der Funktion f mit f(x) = x 2 – 5 x + 6 über der x-Achse liegt. b) D ie quadratische Gleichung x 2 – 5 x + 4 = 0 hat die Lösungen 1 und 4. Rechne nach! Somit kann die gegebene Ungleichung so geschrieben werden: (x – 1) · (x – 4) < 0 Diese Ungleichung ist genau dann erfüllt, wenn die beiden Klammerausdrücke entgegengesetztes Vorzeichen haben, dh. wenn gilt: [x – 1 > 0 ? x – 4 < 0] = [x – 1 < 0 ? x – 4 > 0] [x > 1 ? x < 4] = [x < 1 ? x > 4] [1 < x < 4] = [4 < x < 1] Da die Ungleichungskette 4 < x < 1 für kein x * ℝ erfüllt ist, ergibt sich die Lösungsmenge: L = {x * ℝ ‡ 1 < x < 4} = (1; 4) Grafisch betrachtet ist die Lösungsmenge L jener Bereich auf der x-Achse, in dem der Graph von f mit f(x) = x 2 – 5 x + 4 unter der x-Achse liegt. Ó Applet 3su8c6 x f(x) 2 4 –4 –2 5 10 15 0 f L Ó Applet 3w6q6s kompakt S. 39 f x L 0 1 2 3 4 5 – 2 2 4 6 8 6 L f(x) f x f(x) L 0 1 2 3 4 5 – 2 2 4 6 8 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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