37 2.2 Besondere Ungleichungsarten 2.2 Besondere Ungleichungsarten Lineare Ungleichungen mit Beträgen R Für alle a > 0 gilt: | x | < a É –a<x<a 0 –a a | x | > a É x < – a = x > a 0 –a a 2.25 Für welche x * ℝ gilt: a) | 7x – 17 | < 11, b) | x + 4 | º 3? LÖSUNG a) | 7x – 17 | < 11 b) | x + 4 | º 3 –11<7x–17<11 1 + 17 x+4ª–3 = x + 4 º 3 6<7x<28 | : 7 xª–7 = x º – 1 6 _ 7 <x<4 L = {x * ℝ 1 x ª – 7 = xº–1}=(– •; – 7] ± [– 1; •) L = {x * ℝ | 6 _ 7 <x<4} = ( 6 _ 7 ; 4) 2.26 Für welche x * R gilt: a) | x – 7 | > 2 c) | x + 4 | < 3 e) | 2 x – 6 | º 4 g) | x + 10 | – 1 º 5 b) | x – 5 | ª 1 d) | 3 x – 8 | < 14 f) | 3 x – 4 | < 0 h) 2 – | – x + 9 | > 6 2.27 Übersetze die folgende Frage in eine Ungleichung und löse diese! a) Welche reellen Zahlen haben von 4 einen kleineren Abstand als 5? b) Welche reellen Zahlen haben von –1 einen größeren Abstand als 10? Lineare Ungleichungen mit Parametern R 2.28 Für welche x * R gilt 3 – a x _ 2 < 1? LÖSUNG 3 – a x _ 2 < 1 ! · 2 3–ax<2 1 – 3 –ax < –1 ! · (– 1) ax>1 Wir unterscheiden nun drei Fälle für den Parameter a: 1. Fall: a > 0 Division durch a liefert: x > 1 _ a w L = {x * R | x > 1 _ a } = ( 1 _ a ; •) 2. Fall: a < 0 Division durch a liefert: x < 1 _ a w L = {x * R | x < 1 _ a } = (– •; 1 _ a ) 3. Fall: a = 0 In diesem Fall ergibt sich: 0 > 1 w L = { } ( kein x * R erfüllt 0 · x > 1) 2.29 Für welche x * ℝ gilt die folgende Ungleichung? Unterscheide Fälle für den Parameter! a) a+ax<2 c) a · x _ 2 + x < 1 e) 3 _ 2 –fx< 1 _ 4 b) bº1–bx d) 6 – ex _ 3 > 2ex f) g x _ 2 +10x<6 Ó Applet 3t62ik AUFGABEN R Ó Lernapplet 3te2qh AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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