36 2 UNGLEICHUNGEN Bruchungleichungen R Kommt in einer Ungleichung die Unbekannte x im Nenner eines Bruches vor, ist zu beachten, dass der Nenner von 0 verschieden sein muss. 2.22 Löse die Ungleichung a) 1 _ x – 1 < 1, b) x – 1 _ x + 2 > 2 über der Grundmenge ℝ und veranschauliche die Lösungsmenge L auf einer Zahlengeraden! LÖSUNG a) Es muss x – 1 ≠ 0 sein, dh. x ≠ 1. Es kann also einer der beiden folgenden Fälle eintreten: 1. Fall: x – 1 > 0, dh. x > 1 2. Fall: x – 1 < 0, dh. x < 1 1 _ x – 1 < 1 | · (x – 1) ⏟ > 0 1 _ x – 1 < 1 | · (x – 1) ⏟ < 0 1 < x – 1 1 > x – 1 x > 2 x < 2 L 1 = {x * ℝ 1 x > 1 ? x > 2} = (2; •) L 2 = {x * ℝ 1 x < 1 ? x < 2} = (– •; 1) Die Lösungsmenge L der gegebenen Ungleichung besteht aus allen reellen Zahlen, die in L 1 oder in L 2 liegen. Somit gilt: L = L 1 ± L 2 = (2; •) ± (– •; 1) 1 2 3 4 5 –2 –1 0 L1 L2 b) Es muss x + 2 ≠ 0 sein, dh. x ≠ – 2. Es kann also einer der beiden folgenden Fälle eintreten: 1. Fall: x + 2 > 0, dh. x > – 2 2. Fall: x + 2 < 0, dh. x < – 2 x – 1 _ x + 2 > 2 | · (x + 2) ⏟ > 0 x – 1 _ x + 2 > 2 | · (x + 2) ⏟ < 0 x – 1 > 2 x + 4 x–1<2x+4 x<–5 x > – 5 L 1 = {x * ℝ 1 x > – 2 ? x<–5}={} L 2 = {x * ℝ 1 x < – 2 ? x > –5} = (–5; –2) L = L 1 ± L 2 = L 2 = (–5; –2) –7–6–5–4–3–2–1 0 L 2.23 Löse die folgende Ungleichung über der Grundmenge ℝ und veranschauliche die Lösungsmenge auf einer Zahlengeraden! a) 1 _ x + 2 ª 1 _ 4 d) 4 x – 1 _ x < 6 g) 1 + x _ 1 – x +1<2 b) x – 5 _ x + 2 > – 1 e) x + 4 _ x – 3 ª – 2 h) 6 – 5 _ x > 1 c) x _ 1 – x º 4 f) – 1 _ x – 3 > – 1 _ 2 i) 2 · 4 – x _ x < 1 _ 2 2.24 Ermittle, für welche x * ℝ die Ungleichung erfüllt ist! a) 1 _ x –2<3 d) 3 – 3 _ 10 x º 2 g) 4 º 9 _ x – 5 b) 9 _ x + 1 _ 2 < 5 e) 2 + 1 _ 3 x > 4 h) 11 + 2 _ 5 x < 10 c) 7 ª 1 _ x – 1 f) 8 + 3 _ x º 7 _ 2 i) 2 _ x – 1 _ 5 > 4,8 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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