285 Satz Ist b 1 + b 2 + … + b n eine endliche geometrische Reihe mit n Gliedern und dem Quotienten q ≠ 1, so ist ihre Summe S = b 1 · q n – 1 _ q – 1 . BEWEIS Wir berechnen zuerst die Summe T = 1 + q + q 2 + … + qn – 2 + qn – 1: I: 1 + q + q2 + … + qn – 2 + qn – 1 = T | · q II: q + q2 + … + qn – 2 + qn – 1 + qn = T · q Subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten, ergibt sich: qn – 1 = T · (q – 1) T = qn – 1 _ q – 1 Damit folgt: S = b1 + b2 + b3 + … + bn = b1 + b1 · q + b1 · q 2 + … + b 1 · q n – 1 = = b1 · (1 + q + q 2 + … + qn – 1) = b 1 · T = b1 · qn – 1 _ q – 1 Zu 8.2 (Seite 157) Satz Besitzt eine unendliche geometrische Reihe b 1 + b 2 + … + b n den Quotienten q mit | q | < 1, dann ist ihre Summe S = b 1 · 1 _ 1 – q . BEWEIS Sn = b1 + b2 + b3 + … + bn = b1 + b1 · q + b1 · q 2 + … + b 1 · q n – 1 = = b1 · (1 + q + q 2 + … + qn – 1) = b 1 · qn – 1 _ q – 1 Wegen | q | < 1 ist lim n ¥ •q n = 0 (siehe Seite 140). Damit folgt: S = lim n ¥ •S n = lim n ¥ •b 1 · 1 – qn _ 1 – q = b1 · lim n ¥ • 1 – qn _ 1 – q = b 1 · 1 _ 1 – q Zu 13.3 (Seite 269) Behauptung Für Ereignisse E 1 und E 2 mit P (E 1) ≠ 0 und P (E 2) ≠ 0 gilt: E 1 ist genau dann von E 2 unabhängig, wenn E 2 von E 1 unabhängig ist. BEWEIS Es gilt: • – Ist E 1 von E 2 unabhängig, dann gilt nach Definition P (E 1 ‡ E 2) = P(E 1). – Wegen der Multiplikationsregel für Ereignisse (S. 267) und des Satzes für die bedingte Wahrscheinlichkeit (S. 268) ergibt sich damit: P (E 2 ‡ E 1) = P (E 2 ? E 1) _ P (E 1) = P (E 2) · P (E 1 ‡ E 2) _ P (E 1) = P (E 2) · P (E 1) _ P (E 1) = P (E 2) – Dh. E2 ist von E1 unabhängig. • Die Umkehrung erfolgt analog, indem man E1 und E2 vertauscht. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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