284 ANHANG: BEWEISE Zu 7.2 (Seite 133) Satz Jede konvergente Folge ist beschränkt. BEWEIS Sei (an 1 n * N*) eine konvergente Folge mit lim n ¥ •a n = a. Dann können wir zu dem speziellen Wert ε = 1 einen Index n0 * N* finden, sodass für alle n º n0 gilt: | an – a | < 1 É – 1 < an – a < 1 É a – 1 < an < a + 1. Daraus folgt: • Die kleinste Zahl unter den Zahlen a1 , a2 , …, a n 0 – 1 , a – 1 ist eine untere Schranke der Folge. • Die größte Zahl unter den Zahlen a1 , a2 , …, a n 0 – 1 , a + 1 ist eine obere Schranke der Folge. Zu 7.4 (Seite 139) Satz Eine geometrische Folge (b n 1 n * ℕ) mit b n = c · q n ist (1) beschränkt, wenn | q | ª 1, (2) nicht beschränkt, wenn | q | > 1. BEWEIS Es gilt | bn | = | c · q n | = | c | · | qn | = | c | · | q |n (1) Ist | q | ª 1, dann ist | q | n ª 1 (vgl. Seite 21). Somit folgt 0 ª | b n | ª | c | für alle n * N. (2) I st | q | > 1, dann genügt es zu zeigen, dass | q | n ab einem gewissen Index jede noch so große reelle Zahl K übersteigt: | q | n > K É n · log 10 | q | > log10K É n > log10K _ log10 | q | Wählen wir also einen Index n0 > log10K _ log10 | q | , dann ist | q |n > K für alle n º n 0 . Zu 8.1 (Seite 154 und 155) Satz Ist a 1 + a 2 + … + a n eine endliche arithmetische Reihe, so ist ihre Summe S = n _ 2 · (a 1 + a n). BEWEIS Sei k die Differenz aufeinander folgender Glieder. Wir fassen das erste und das letzte, das zweite und das vorletzte, das dritte und vorvorletzte Glied usw. zusammen: a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an a1 + an a2 + an – 1 = (a1 + k) + (an – k) = a1 + an a3 + an – 2 = (a1 +2k)+(an –2k)=a1 + an usw. Die beiden zusammengefassten Glieder ergeben jeweils a1 + an . • Ist n gerade, so werden n _ 2 Zusammenfassungen vorgenommen. Somit gilt: a1 + a2 + … + an = n _ 2 · (a 1 + a n) • Ist n ungerade, so werden n – 1 _ 2 Zusammenfassungen vorgenommen und das mittlere Glied bleibt übrig. Wegen der konstanten Differenz aufeinander folgender Glieder ist dies der Mittelwert von a1 und an . Somit gilt: a1 + a2 + … + an = n – 1 _ 2 · (a 1 + a n) + a1 + an _ 2 = (n – 1) · (a1 + an) + (a1 + an) ____ 2 = n · (a1 + an) _ 2 = n _ 2 · (a 1 + a n) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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