283 BEWEIS (1) und (2) folgen unmittelbar aus der Definition von n � _ a . (3) (( n � _ a ) z ) n = ( n � _ a ) z · n = (( n � _ a ) n ) z = (2) a z. Daraus folgt: ( n � _ a ) z = n � _ a z . (4) ( n � _ a · n � _ b ) n = ( n � _ a ) n · ( n � _ b ) n = (2) a · b. Daraus folgt: n � _ a·b= n � _ a · n � _ b . (5) n � _ a _ b = n � _ a · 1 _ b = n � _a · b ‒ 1 = (4) n � _ a · n � _ b ‒ 1 = (3) n � _ a ·( n � _ b ) ‒ 1 = n � _ a · 1 _ n � _ b = n � _ a _ n � _ b (6) ( m � _ n � _ a ) m · n = (3) m � _ ( n � _ a ) m · n = m � _ ( n � _ a ) n · m = m � _ (( n � _ a ) n ) m = (2) m � _ a m = a. Daraus folgt: m � _ n � _ a = m · n � _ a . (7) ( k · m � _ a k · n ) m = ( m · k � _ (a n)k ) m = (6) ( m � _ k � (a n)k ) m = (1) k � ____ (a n)k = (1) a n. Daraus folgt: k · m � _ a k · n = m � _ a n Zu 1.4 (Seite 19) Satz (Rechenregeln für Potenzen mit rationalen Exponenten) Für alle a, b * ℝ + und alle r, s * ℚ gilt: (1) a r · a s = a r + s (2) a r _ a s = a r – s (3) (a r) s = a r · s (4) (a · b) r = a r · b r (5) ( a _ b ) r = a r _ b r BEWEIS Wir setzen r = m _ n unds= k _ l mit m, k * ℤ und n, l * ℕ*. (1) a r · a s = a m _ n · a k _ l = a l · m _ l · n · a k · n _ l · n = l · n � _ a l · m · l · n � _ a k · n = l · n � _a l · m · a k · n = l · n � _a l · m + k · n = a l · m + k · n _ l · n = = a m _ n + k _ l = a r + s (2) a r _ a s = a r · 1 _ a s = a r · a – s = (1) a r + (– s) = a r – s (3) (a r) s = (a m _ n ) k _ l = ( n � _ a m ) k _ l = l � _ ( n � _ a m ) k = l � _ n � (a m) k = l � _ n � a m · k = l · n � _ a m · k = a m · k _ l · n = a m _ n · k _ l = a r · s (4) (a · b) r = (a · b) m _ n = n � _(a · b) m = n � _a m · b m = n � _ a m · n � _ b m = a m _ n · b m _ n = a r · b r (5) ( a _ b ) r = (a · 1 _ b ) r = (4) a r · ( 1 _ b ) r = a r · (b ‒ 1) r = (3) a r · b ‒ r = a r · 1 _ b r = a r _ b r Zu 3.2 (Seite 50) Satz (Eigenschaften von Potenzfunktionen mit Exponenten aus ℕ*) (1) Alle Graphen gehen durch die Punkte (0 1 0) und (1 1 1). Für gerades n gehen alle Graphen durch (–1 1 1), für ungerades n durch (–1 1 – 1). (2) f ist in ℝ 0 + streng monoton steigend. (3) f ist in ℝ 0 – streng monoton fallend, falls n gerade ist, und streng monoton steigend, falls n ungerade ist. BEWEIS (1) f (0) = 0 n = 0, f (1) = 1 n = 1. Für gerades n ist f (–1) = (–1)n = 1, für ungerades n ist f (– 1) = (– 1)n = – 1 (2) Für alle x1 , x2 * R+ gilt: x 1 < x2 w x2 _ x1 > 1 w ( x2 _ x1 ) n > 1 w x 2 n _ x 1 n > 1 w x 1 n < x 2 n Die Wenn-dann-Aussage x1 < x2 w x 1 n < x 2 n gilt offensichtlich aber auch, wenn x 1 = 0 ist. Somit gilt für alle x1 , x2 * R 0 +: x 1 < x2 w x 1 n < x 2 n w f (x 1) < f (x2) (3) Für alle x1 , x2 * R 0 – sind – x 1 und – x2 * R 0 + . Somit gilt nach (2): x 1 < x2 w – x1 > – x2 w w (– x1) n > (– x 2) n Daraus folgt für gerades n: x1 < x2 w x 1 n > x 2 n w f (x 1) > f (x2) für ungerades n: x1 < x2 w – x 1 n > – x 2 n w x 1 n < x 2 n w f (x 1) < f (x2) (2. Satz auf Seite 21) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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