282 ANHANG: BEWEISE Zu 1.2 (Seite 10) Satz (Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten) Für alle a, b * ℝ* und alle m, n * ℤ gilt: (1) a m · a n = a m + n (3) (a m) n = a m · n (5) ( a _ b ) n = a n _ b n (2) a m _ a n = a m – n (4) (a · b) n = a n · b n BEWEIS (1) Für m > 0 und n > 0 haben wir die Regel schon im Abschnitt 1.1 bewiesen. Die Regel gilt auch für m = 0 oder n = 0, denn für m = 0 sind beide Seiten gleich a n und für n = 0 sind beide Seiten gleich a m. Wir müssen also nur mehr die folgenden Fälle betrachten: 1. Fall: m>0,n<0.Wirsetzenn=–smits>0. a m · a n = a m · a – s = a m · 1 _ a s = a m _ a s = a m – s = a m – ( – n) = a m + n 2. Fall: m < 0, n > 0 a m · a n = a n · a m = 1. Fall a n + m = a m + n 3. Fall: m < 0,n<0.Wirsetzenm=–rundn=–smitr,s>0. a m · a n = a – r · a – s = 1 _ a r · 1 _ a s = 1 _ a r + s = a – (r + s) = a (–r) + (–s) = a m + n (2) a m _ a n = a m · 1 _ a n = a m · a – n = (1) a m + (– n) = a m – n (3) Für m > 0 und n > 0 haben wir die Regel schon im Abschnitt 1.1 bewiesen. Die Regel gilt auch für m = 0 oder n = 0, denn in diesen Fällen sind beide Seiten gleich 1. Wir müssen also nur mehr die folgenden Fälle betrachten: 1. Fall: m>0,n<0.Wirsetzenn=–smits>0. (a m)n = (a m) – s = 1 _ (a m) s = 1 _ a m · s = a – (m · s) = a m · (– s) = a m · n 2. Fall: m < 0,n > 0.Wir setzen m = –r mit r > 0. (a m)n = (a – r) n = ( 1 _ a r ) n = 1 n _ (a r) n = 1 _ a r · n = a – (r · n) = a (– r) · n = a m · n 3. Fall: m < 0,n<0.Wirsetzenm=–rundn=–smitr,s>0. (a m)n = (a – r) – s = 1 _ (a – r) s = 2. Fall 1 _ a – r · s = a r · s = a (– m) · (– n) = a m · n (4) Für n > 0 haben wir die Regel schon im Abschnitt 1.1 bewiesen. Die Regel gilt auch für n = 0, denn in diesem Fall sind beide Seiten gleich 1. Wir müssen also nur mehr den Fall n < 0 betrachten. Wir setzen n = – s mit s > 0. (a · b) n = (a · b) – s = 1 _ (a · b) s = 1 _ a s · b s = 1 _ a s · 1 _ b s = 1 _ a – n · 1 _ b – n = a n · b n (5) ( a _ b ) n = (a · 1 _ b ) n = (4) a n · ( 1 _ b ) n = a n · (b – 1) n = (3) a n · b – n = a n · 1 _ b n = a n _ b n Zu 1.3 (Seite 14) Satz (Rechenregeln für Wurzeln) Für alle a, b * ℝ 0 + , alle m, n, k * ℕ* und alle z * ℤ gilt: (1) n � _ a n = a (4) n � _ a·b= n � _ a · n � _ b (7) k · m � _ a k · n = m � _ a n (2) ( n � _ a ) n = a (5) n � _ a _ b = n � _ a _ n � _ b (falls b ≠ 0) (3) ( n � _ a ) z = n � _ a z (falls a ≠ 0) (6) m � _ n � _ a = m · n � _ a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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