271 13.3 Additions- und Multiplikationsregel für Ereignisse 13.63 Mediziner schätzen, dass ca. 4 % der Bevölkerung an einer bestimmten Virusinfektion erkrankt sind. Zur Früherkennung der Krankheit wird ein Schnelltest eingesetzt, für den der Hersteller angibt: Sensitivität = 80 % und Spezifität = 95 %. Aus der Bevölkerung wird eine Person zufällig ausgewählt und getestet. 1) Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Testperson tatsächlich erkrankt ist, wenn das Testergebnis positiv ist! 2) Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Testperson tatsächlich erkrankt ist, wenn das Testergebnis negativ ist! LÖSUNG MITTELS BAUMDIAGRAMM • Der Angabe entnimmt man: – die (unbedingte) Wahrscheinlichkeit, dass die Testperson erkrankt ist: P (K) = 0,04 – die Sensitivität P (Pos 1 K) = 0,8und die Spezifität P (Neg 1 ¬ K) = 0,95. • A nhand des nebenstehenden Baumdiagramms berechnen wir zunächst: P (Pos) = 0,04 · 0,8 + 0,96 · 0,05 = 0,08und P (Neg) = 1 – P (Pos) = 0,92 • D amit erhalten wir mit dem Satz von Bayes: 1) P (K 1 Pos) = P (K) · P (Pos 1 K) ___ P (Pos) = 0,04 · 0,8 __ 0,08 = 0,4 2) P (K 1 Neg) = P (K) · P (Neg 1 K) ___ P (Neg) = 0,04 · 0,2 __ 0,92 ≈ 0,009 Die Wahrscheinlichkeit P (K 1 Pos) in Aufgabe 13.63 kann man auch mithilfe von absoluten Zahlen ermitteln. Dazu nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die betrachtete Bevölkerung 1000 Personen umfasst. Wir denken uns, dass von allen Personen der Krankheitsstatus bekannt ist und alle Personen getestet wurden. Dann kann man die absoluten Zahlen der Personen mit den untersuchten Eigenschaften durch ein vereinfachtes Baumdiagramm oder ein Mengendiagramm so darstellen: 1 000 ¬ K: 960 K: 40 Pos: 32 Pos: 48 1 000 erkrankt Test positiv Personen in der Bevölkerung 32 48 8 40 80 Die Wahrscheinlichkeit P (K 1 Pos) ist gleich dem relativen Anteil der erkrankten Personen mit positivem Test an allen Personen mit einem positiven Test. Aus beiden Diagrammen kann man ablesen: P (K 1 Pos) = 32 __ 32 + 48 = 0,4 = 40 %. BEMERKUNGEN • Eine wesentliche Voraussetzung für die Lösung von Aufgabe 13.63 ist folgende: Eine Schätzung der unbedingten Wahrscheinlichkeit für die Verbreitung der Krankheit in der betrachteten Bevölkerung muss vorliegen. • Trotz hoher Sensitivität und Spezifität des Testverfahrens zeigt ein positives Testergebnis die Krankheit nur mit der relativ geringen Wahrscheinlichkeit von 40 % richtig an. Umgekehrt formuliert: Das Testverfahren liefert bei 60% der Durchführungen ein falsch-positives Ergebnis. 0,96 0,04 ¬ K K Pos Neg Pos Neg 0,8 0,2 0,95 0,05 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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