269 13.3 Additions- und Multiplikationsregel für Ereignisse Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse R Wir gehen von zwei Ereignissen E 1 und E2 mit P (E 1) ≠ 0und P (E 2) ≠ 0aus. Auf Seite 250 haben wir definiert: „E 1 ist unabhängig von E2“, wenn P (E 1) = P (E1 1 E 2), und „E 2 ist unabhängig von E1“, wenn P (E 2) = P (E2 1 E 1). Dabei mussten wir die Aussagen „E 1 ist von E 2 unabhängig“ und „E 2 ist von E 1 unabhängig“ zunächst unterscheiden. Man kann aber zeigen, dass diese beiden Aussagen äquivalent sind, sodass man einfach von den unabhängigen Ereignissen E 1 und E 2 sprechen kann (Beweis im Anhang auf Seite 285). Durch Anwendung der Multiplikationsregel erkennt man, dass zwei Ereignisse E 1 und E 2 mit P (E 1) ≠ 0 und P (E 2) ≠ 0 genau dann unabhängig sind, wenn gilt: P (E1 ? E2) = P (E1) · P (E2 1 E1) = P (E1) · P (E2) Die Gleichung P (E1 ? E2) = P (E1) · P (E2) gilt auch dann, wenn P (E1) = 0 oder P(E2) = 0 ist (Denn dann sind beide Seiten der Gleichung gleich null). Der Einfachheit halber spricht man auch in diesem Fall von den unabhängigen Ereignissen E 1 und E 2 . Damit kann man jetzt ohne Einschränkung den folgenden Satz formulieren, mit dessen Hilfe man auch einfach prüfen kann, ob zwei Ereignisse E1 und E2 voneinander unabhängig sind: Satz (Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse) Zwei Ereignisse E 1 und E 2 eines Zufallsversuchs sind genau dann unabhängig, wenn gilt: P (E 1 ? E 2) = P (E 1) · P (E 2) 13.59 Ein Würfel wird geworfen. Überprüfe, ob die Ereignisse E 1 und E 2 unabhängig sind! a) E 1: Es kommt eine gerade Zahl. E 2: Es kommt eine Zahl º 5. b) E 1: Es kommt eine gerade Zahl. E 2: Es kommt eine Primzahl. LÖSUNG Wir gehen von den jeweiligen Ereignismengen aus. a) M (E 1) = {2, 4, 6}, M (E 2) = {5, 6}, M (E 1 ? E 2) = {6}; P (E 1) = 1 _ 2 , P (E 2) = 1 _ 3 , P (E 2 ? E 1) = 1 _ 6 P (E 1 ? E 2) = P (E 1) · P (E 2) w E 1 und E 2 sind unabhängig b) M (E 1) = {2, 4, 6}, M (E 2) = {2, 3, 5}, M (E 1 ? E 2) = {2}; P (E 1) = 1 _ 2 , P (E 2) = 1 _ 2 , P (E 2 ? E 1) = 1 _ 6 P (E 1 ? E 2) ≠ P (E 1) · P (E 2) w E 1 und E 2 sind nicht unabhängig 13.60 Ein Würfel wird geworfen. Zeige mit Hilfe der Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse, dass die Ereignisse E 1 und E 2 unabhängig sind! a) E 1: Es kommt eine gerade Zahl. E 2: Es kommt 2 oder 3. b) E 1: Es kommt eine ungerade Zahl. E 2: Es kommt eine Zahl º 5. c) E 1: Es kommt eine Zahl ª 4. E 2: Es kommt eine der Zahlen 2, 3, 5. d) E 1: Es kommt 1 oder 2 E 2: Es kommt eine Primzahl 13.61 Ein Würfel wird geworfen. Überprüfe, ob die Ereignisse E1 und E2 unabhängig sind! a) E1: Es kommt 2, 3, 5 oder 6. E2: Es kommt 3 oder 4. b) E1: Es kommt eine ungerade Zahl. E2: Es kommt 3 oder 4. 13.62 Zwei Würfel werden geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, a) zweimal 6 zu erhalten, b) einen Pasch (zwei gleiche Augenzahlen) zu erhalten! AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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