268 13 RECHNEN MIT WAHRSCHEINLICHKEITEN Begründung mit relativen Häufigkeiten: Wir denken uns den Versuch n-mal durchgeführt (n sehr groß). Unter den n Versuchen tritt das Ereignis E 1 bei m Versuchen ein, dh. P (E 1) = m _ n . Unter den m Versuchen, bei denen E 1 eintritt, tritt E 2 bei k Versuchen ein, dh. P (E 2 1 E 1) = k _ m . Beide Ereignisse treten dann bei insgesamt k von n Versuchen ein, dh. P (E 1 ? E 2) = k _ n . Damit ergibt sich: P (E 1 ? E 2) = k _ n = m _ n · k _ m = P (E 1) · P (E 2 1 E 1) Wegen P (E 1 ? E 2) = P (E 2 ? E 1) gilt auch P (E 1 ? E 2) = P (E 2) · P (E 1 1 E 2). Daraus folgt: Satz für die bedingte Wahrscheinlichkeit Sind E 1 und E2 zwei Ereignisse eines Zufallsversuchs, dann gilt: P (E 2 1 E 1) = P (E 1 ? E 2) __ P (E 1) (mit P (E 1) ≠ 0) und P (E 1 1 E 2) = P (E 1 ? E 2) __ P (E 2) (mit P (E 2) ≠ 0) 13.54 Bei der Anwendung einer Hautcreme wurden folgende Nebenwirkungen festgestellt: bei 8% der Anwendungen Hautrötungen, bei 0,24 % Hautrötungen und Juckreiz. Jemand hat nach Anwendung eine Hautrötung. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass darauf ein Juckreiz folgt! LÖSUNG Wir betrachten die folgenden Ereignisse nach Anwendung dieser Hautcreme. • H : „Eine Hautrötung tritt auf.“ und J: „Ein Juckreiz tritt auf.“ • D er Angabe entnimmt man: P (H) = 0,08 und P (H ? J) = 0,0024. • M it dem letzten Satz erhält man für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P (J 1 H): P (J 1 H) = P (H ? J) __ P (H) = 0,0024 _ 0,08 = 0,03 13.55 Eine Krankheit wird durch ein Virus hervorgerufen, bricht aber nicht bei jedem Virusträger aus. Für einen bestimmten Bezirk schätzt man: 20 % der Bewohner sind Virusträger und 0,5 % der Bewohner tragen das Virus in sich und erkranken. Ein Bewohner dieses Bezirks wird positiv auf das Virus getestet. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Krankheit bei ihm ausbricht! 13.56 Bei einem Algebratest werden zwei Fehler F1 und F2 untersucht. Von den untersuchten Personen machen 35% den Fehler F1 und 7% beide Fehler. Jonas macht den Fehler F1. Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit Jonas dann auch den Fehler F2 macht! 13.57 RapidFly fliegt zwischen Wien und Berlin. Wetterbedingt kann RapidFly nur bei 98 % aller angekündigten Flüge in Wien starten. Gelegentlich muss RapidFly statt in Berlin an einem Ausweichflughafen landen. Nur bei 95 % aller angekündigten Flüge startet RapidFly in Wien und landet in Berlin. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein RapidFly-Flugzeug, das in Wien bereits gestartet ist, in Berlin landen wird! 13.58 In einer Stadt schneit es an einem Dezembertag mit der Wahrscheinlichkeit 0,40 und an zwei aufeinander folgenden Dezembertagen mit der Wahrscheinlichkeit 0,0028. Angenommen, es schneit an einem Dezembertag. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass auch am darauffolgenden Tag Schnee fällt! AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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