267 13.3 Additions- und Multiplikationsregel für Ereignisse Begründung mit relativen Häufigkeiten: Der Versuch wird n-mal unter den gleichen Bedingungen durchgeführt. Dabei tritt das Ereignis E1 genau k-mal und das Ereignis E2 genau m-mal ein. Da die Ereignisse E1 und E2 nicht gleichzeitig eintreten können, tritt das Ereignis E1 = E2 genau (k + m)-mal ein. Daraus folgt: P (E1 = E2) ≈ hn (E1 = E2) = k + m _ n = k _ n + m _ n = hn (E1) + hn (E2) ≈ P (E1) + P (E2) Die Additionsregel lässt sich auf mehrere Ereignisse E 1, E 2, …, E n verallgemeinern, wenn man voraussetzt, dass keine zwei dieser Ereignisse gleichzeitig eintreten können. Man sagt in einem solchen Fall kurz: Die Ereignisse schließen einander paarweise aus. Satz Sind E 1 , E 2 , …, E n einander paarweise ausschließende Ereignisse eines Zufallsversuchs, dann gilt: P (E 1 = E 2 = … = E n) = P (E 1) + P (E 2) + … + P(E n) 13.51 Luca und seine Freundin Lena spielen im Spielcasino Roulette (siehe Seite 237). Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden gewinnt, wenn die beiden folgendermaßen setzen: a) Luca setzt auf die erste Kolonne (1, 4, 7, …,34), Lena auf die zweite Kolonne (2, 5, 8, …, 35). b) Luca setzt auf Pair (2, 6, 7, …, 36), Lena auf Impair (1, 3, 5, …, 35). 13.52 Zeige, dass die Ereignisse E1 und E2 einander ausschließen, und berechne P (E1 = E2)! a) Zweimaliger Münzwurf: E1: Es kommt zweimal Zahl, E2: Es kommt zweimal Kopf. b) Zweimaliger Münzwurf: E1: Es kommt zweimal Zahl, E2: Es kommt genau einmal Kopf. 13.53 B eweise: Sind E 1 , E 2 und E 3 einander paarweise ausschließende Ereignisse eines Zufallsversuchs, dann gilt: P (E 1 = E 2 = E 3) = P (E 1) + P (E 2) + P (E 3) HINWEIS Setze vorübergehend E 2 = E 3 = E ! Multiplikationsregel für Ereignisse R Wir haben bisher nur folgende Multiplikationsregel für Versuchsausgänge eines mehrstufigen Zufallsversuchs formuliert: Die Wahrscheinlichkeit eines Versuchsausgangs ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Wegs im entsprechenden Baumdiagramm. Wir betrachten jetzt einen Zufallsversuch mit den Ereignissen E1 und E2. Wir fragen nach der Wahrscheinlichkeit P (E 1 und E 2) = P (E 1 ? E 2), dass also das Ereignis E1 und zugleich das Ereignis E2 eintritt. Wir überlegen schrittweise so: Zuerst ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit P (E 1), dass E1 eintritt. Dann ermitteln wir die bedingte Wahrscheinlichkeit P (E 2 1 E 1), die angibt, wie wahrscheinlich das Eintreten von E 2 ist, falls E1 eingetreten ist. Anhand des nebenstehenden Diagramms vermuten wir: Satz (Multiplikationsregel für Ereignisse): Sind E 1 und E 2 zwei Ereignisse eines Zufallsversuchs, dann gilt: P (E 1 und E 2) = P (E 1 ? E 2) = P (E 1) · P (E 2 1 E 1) AUFGABEN R P(E1) E1 1. Schritt P(E2 | E1) E2 2. Schritt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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