266 13 RECHNEN MIT WAHRSCHEINLICHKEITEN 13.3 Additions- und Multiplikationsregel für Ereignisse Additionsregel für Ereignisse R Bisher haben wir nur eine Additionsregel für Versuchsausgänge formuliert, nämlich: Sind A und B zwei Ausgänge eines Zufallsversuchs, dann gilt: P (A oder B) = P (A = B) = P (A) + P (B) Wir fragen jetzt: Unter welcher Voraussetzung gilt diese Additionsregel P (A = B) = P (A) + P (B) für beliebige Ereignisse A und B? Dabei müssen wir beachten, dass sich Ereignisse i.A. aus mehreren Versuchsausgängen zusammensetzen. 13.49 Ein Würfel wird geworfen. Wir betrachten die Ereignisse: E1: Es kommt eine Zahl ª 2. E2: Es kommt eine Zahl º 4. Berechne P (E1) und P(E2)! Gilt P (E1 = E2) = P (E1) + P (E2)? LÖSUNG P (E1) = 2 _ 6 , P (E2) = 3 _ 6 Das Ereignis E1 = E2 tritt genau dann ein, wenn eine der Zahlen 1, 2 oder eine der Zahlen 4, 5, 6 kommt. Es tritt also genau dann ein, wenn eine der Zahlen 1, 2, 4, 5, 6 fällt. Somit gilt hier: P (E1 = E2) = 5 _ 6 = P (E 1) + P (E 2) 13.50 Ein Würfel wird geworfen. Wir betrachten die Ereignisse: E1: Es kommt eine ungerade Zahl. E2: Es kommt eine Primzahl. Berechne P (E1) und P(E2)! Gilt P (E1 = E2) = P (E1) + P (E2)? LÖSUNG P (E1) = 3 _ 6 , P (E2) = 3 _ 6 Das Ereignis E1 = E2 tritt genau dann ein, wenn eine der Zahlen 1, 3, 5 oder eine der Zahlen 2, 3, 5 kommt. Es tritt also genau dann ein, wenn eine der Zahlen 1, 2, 3, 5 fällt. Somit ergibt sich: P (E1 = E2) = 4 _ 6 ≠ P (E1) + P (E2) An den letzten beiden Aufgaben sehen wir: Die Beziehung P (E 1 = E 2) = P (E 1) + P (E 2) kann, aber muss nicht immer gelten. Beide Aufgaben lassen jedoch vermuten, dass diese Beziehung genau dann gilt, wenn die Ereignisse E 1 und E 2 nicht gleichzeitig eintreten können. • In Aufgabe 13.49 können E 1 und E 2 nicht gleichzeitig eintreten, denn es kann nicht gleichzeitig eine Zahl ª 2 und eine Zahl º 4 kommen. • In Aufgabe 13.50 können E 1 und E 2 jedoch gleichzeitig eintreten, denn es kann eine Zahl kommen, die ungerade und gleichzeitig Primzahl ist, nämlich 3 oder 5. Definition Zwei Ereignisse eines Zufallsversuchs heißen einander ausschließend, wenn sie nicht beide zugleich eintreten können. Satz (Additionsregel für Ereignisse) Sind E 1 und E 2 einander ausschließende Ereignisse eines Zufallsversuchs, dann gilt: P (E 1 oder E 2) = P (E 1 = E 2) = P (E 1) + P (E 2) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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