262 13 RECHNEN MIT WAHRSCHEINLICHKEITEN 13.2 Additionsregel für Versuchsausgänge Wahrscheinlichkeiten mit der Additionsregel berechnen R 13.29 Aus der Urne in nebenstehender Abbildung werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis: E1: Beide Kugeln haben dieselbe Farbe. E2: Eine Kugel ist rot, eine weiß. E3: Die zweite Kugel ist schwarz. LÖSUNG Wir stellen alle möglichen Ausgänge durch ein Baumdiagramm dar, wobei wir die Farben weiß, schwarz, rot mit w, s, r abkürzen. • D as Ereignis E 1 setzt sich aus drei Wegen zusammen, die rot hervorgehoben sind: (w, w), (s, s), (r, r). Würde man den Versuch (Ziehen zweier Kugeln) sehr oft durchführen, würde man in ca. 4 _ 8 · 3 _ 7 aller Fälle (w, w), in ca. 3 _ 8 · 2 _ 7 aller Fälle (s, s) und in ca. 1 _ 8 · 0 _ 7 aller Fälle (r, r) erhalten. Da von diesen drei Ausgängen niemals zwei gleichzeitig eintreten können, würde man in ca. 4 _ 8 · 3 _ 7 + 3 _ 8 · 2 _ 7 + 1 _ 8 · 0 _ 7 aller Fälle (w, w) oder (s, s) oder (r, r) erhalten. Wir schließen daraus: P (E1) = 4 _ 8 · 3 _ 7 + 3 _ 8 · 2 _ 7 + 1 _ 8 · 0 _ 7 = 9 _ 28 ≈ 0,32 • Das Ereignis E 2 setzt sich aus den Wegen (w, r) und (r, w) zusammen. Wie bei E1 erhält man: P (E2) = 4 _ 8 · 1 _ 7 + 1 _ 8 · 4 _ 7 = 1 _ 7 ≈ 0,14 • Das Ereignis E 3 setzt sich aus den Wegen (w, s), (s, s), (r, s) zusammen. Wie bei E1 ergibt sich: P (E3) = 4 _ 8 · 3 _ 7 + 3 _ 8 · 2 _ 7 + 1 _ 8 · 3 _ 7 = 3 _ 8 = 0,375 Wir betrachten allgemein einen Zufallsversuch, der aus mehreren Teilversuchen besteht. Es seien A = (a 1 , a 2 , …) und B = (b 1 , b 2 , …) zwei verschiedene Ausgänge des Gesamtversuchs, denen zwei Wege im zugehörigen Baumdiagramm entsprechen. Wir bezeichnen das Ereignis, dass A oder B eintritt, kurz mit A = B. Entsprechend der letzten Aufgabe erhält man die Wahrscheinlichkeit für A = B durch Addition der entlang der beiden Wege berechneten Wahrscheinlichkeiten. Satz (Additionsregel für Versuchsausgänge) Sind A und B zwei Ausgänge eines Zufallsversuchs, dann gilt: P (A = B) = P (A) + P (B) Begründung mit relativen Häufigkeiten: Wir denken uns den Versuch n-mal durchgeführt (n groß). Dabei tritt der Ausgang A genau k-mal und der Ausgang B genau m-mal ein. Da die Ausgänge A und B nicht gleichzeitig eintreten können, tritt das Ereignis A = B genau (k + m)-mal ein. Somit gilt: P (A = B) ≈ hn (A = B) = k + m _ n = k _ n + m _ n = hn (A) + hn (B) ≈ P(A) + P(B) w r s w w r s s w r s r _4 8 _3 7 _2 7 _0 7 _3 7 _3 7 _4 7 _4 7 _1 7 _1 7 _3 8 _1 8 2. Ziehung 1. Ziehung a1 b1 a2 b2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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