26 1 POTENZEN, WURZELN UND LOGARITHMEN Logarithmische Skalen L Bisher haben wir eine Zahlengerade stets mit einer so genannten äquidistanten Skala versehen. Dabei wird jeweils die Zahl x im Abstand † x † vom Anfangspunkt der Skala (Nullpunkt) aufgetragen und zwar nach links für x < 0 und nach rechts für x > 0. Für positive Zahlen x ist es jedoch manchmal vorteilhaft, eine so genannte logarithmische Skala zu verwenden. Dabei wird jeweils die Zahl x > 0 im Abstand | log 10 x | vom Anfangspunkt der Skala aufgetragen. Der Anfangspunkt einer solchen Skala wird mit 1 beschriftet, da log 101 = 0 ist. Die Abbildung zeigt die Wellenlängen des Spektrums mit einer logarithmischen Skala. Auf einer äquidistanten Skala könnte man aus Platzgründen nicht alle Wellenlängen darstellen. Die Euler’sche Zahl e und der natürliche Logarithmus R In vielen Anwendungen benutzt man Logarithmen, deren Basis die so genannte Euler’sche Zahl e ist. Wie diese Zahl e genau definiert ist, werden wir erst im Abschnitt 8.4 angeben. Hier sei nur so viel gesagt: Die Euler ’sche Zahl e ist irrational und es ist e ≈ 2,718281828. Der Logarithmus zur Basis e erhält einen eigenen Namen: Definition Sei x * ℝ +. Die Zahl log e x heißt natürlicher Logarithmus von x und wird mit ln x bezeichnet [Lies: logarithmus naturalis von x]. 1.127 Berechne! a) ln 2 c) ln (0,1) e) ln e g) ln e 8,5 i) ln 1 _ e 2 k) ln (ln e) b) ln 10 d) ln (0,5) f) ln e 2 h) ln 1 _ e j) ln 1 l) e ln x 1.128 Kreuze die beiden richtigen Aussagen an, ohne Technologie einzusetzen! a) e 0 = ln e a) ln x = 2 É e 2 = ln x 2 e ln 1 = e ln x 2 = 4 É e 2 = x ln 1 = 1 ln e = 0 ln(lne) = e ln 1 _ 2 x = ln2 – lnx ln e ln e = 1 ln1 = log 101 Rot Orange Gelb Grün Blau Violett 700 Wechselströme Rundfunk Radar Infrarotstrahlen Röntgenstrahlen Gammastrahlen Ultraviolettstrahlen Sichtbares Spektrum 600 500 Wellenlänge in Nanometer Wellenlänge in Meter 400 108 106 104 102 1 10– 2 10– 4 10– 6 10– 8 10– 10 10– 12 10– 14 Leonhard Euler AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=