257 13.1 Multiplikationsregel für Versuchsausgänge LÖSUNG Wir zeichnen jeweils ein Baumdiagramm. 1) Das Ereignis, dass Adam zuerst am Automaten A und dann am Automaten B gewinnt, ist im nebenstehenden Baumdiagramm als roter Weg dargestellt. Z ur Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses kommen wir durch folgende Überlegung: Wir denken uns den Gesamtversuch (aufeinanderfolgende Betätigung beider Automaten) sehr oft durchgeführt. Dabei wird Adam in ca. 1 _ 4 aller Versuche beim Automaten A gewinnen. In ca. 1 _ 5 aller Versuche, in denen er beim Automaten A gewonnen hat, wird er auch beim Automaten B gewinnen. Insgesamt wird er also in ca. 1 _ 5 von 1 _ 4 aller Versuche bei beiden Automaten gewinnen. Wir schließen daraus: P(Adam gewinnt bei A und gewinnt bei B) = 1 _ 5 von 1 _ 4 = 1 _ 5 · 1 _ 4 = 1 _ 4 · 1 _ 5 = 1 _ 20 2) Das Ereignis, dass Adam beim Automaten A verliert und beim Automaten B gewinnt, ist im nebenstehenden Baumdiagramm als roter Weg dargestellt. Durch eine ähnliche Überlegung wie in 1) erhält man: P (Adam verliert bei A und gewinnt bei B) = = 1 _ 5 von 3 _ 4 = 1 _ 5 · 3 _ 4 = 3 _ 4 · 1 _ 5 = 3 _ 20 13.02 Eva spielt nacheinander an drei Spielautomaten A, B und C. Bei A gewinnt man mit der Wahrscheinlichkeit 1 _ 4 , bei B mit der Wahrscheinlichkeit 1 _ 5 und bei C mit der Wahrscheinlichkeit 1 _ 7 . Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sie 1) bei A gewinnt und bei B und C verliert, 2) bei A und B verliert und bei C gewinnt! LÖSUNG Hier liegt ein dreistufiger Zufallsversuch vor. Alle möglichen Ergebnisse dieses Versuchs sind im nebenstehenden Baumdiagramm dargestellt. 1) Das Ereignis „Eva gewinnt bei A und verliert bei B und C“ ist als roter Weg markiert. Ähnlich wie in Aufgabe 13.01 erhält man: P (Eva gewinnt bei A und verliert bei B und C) = = 6 _ 7 von 4 _ 5 von 1 _ 4 = 6 _ 7 · 4 _ 5 · 1 _ 4 = 1 _ 4 · 4 _ 5 · 6 _ 7 = 6 _ 35 2) Das Ereignis „Eva verliert bei A und B und gewinnt bei C“ ist als blauer Weg markiert. Es ergibt sich: P (Eva verliert bei A und B und gewinnt bei C) = = 1 _ 7 von 4 _ 5 von 3 _ 4 = 1 _ 7 · 4 _ 5 · 3 _ 4 = 3 _ 4 · 4 _ 5 · 1 _ 7 = 3 _ 35 Allgemein gilt: Satz (Multiplikationsregel für Versuchsausgänge) Die Wahrscheinlichkeit eines Versuchsausgangs in einem mehrstufigen Zufallsversuch ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des zum Versuchsausgang gehörigen Wegs im Baumdiagramm. 1 4 3 4 1 5 4 5 1 5 4 5 Automat A Automat B G V G V G V 1 4 3 4 1 5 4 5 1 5 4 5 Automat A Automat B G V G V G V 1 4 3 4 1 5 4 5 1 5 4 5 G V 1 7 6 7 1 7 6 7 1 7 6 7 1 7 6 7 G V G V G V G V G V G V Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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