25 1.6 Logarithmen Exponentialgleichungen R 1.122 Für welche x * ℝ gilt näherungsweise 5 2 x – 1 = 30? LÖSUNG Wir logarithmieren die Gleichung, dh. wir wenden auf beiden Seiten den Zehnerlogarithmus (1. Art) bzw. gleich den Fünferlogarithmus (2. Art) an. 1. Art: 5 2 x – 1 = 30 2. Art: 5 2 x – 1 = 30 log 10(5 2 x – 1) = log 10 30 log 5(5 2 x – 1) = log 5 30 (2 x – 1) · log 105 = log 10 30 2x–1=log 5 30 2x–1= log 10 30 _ log 10 5 2 x = log 5 30 + 1 x = 1 _ 2 · ( log 10 30 _ log 10 5 + 1) ≈ 1,5566 x = 1 _ 2 · (log5 30 + 1) ≈ 1,5566 Probe: 5 (2 · 1,5566 – 1) ≈ 30 (genauer durch besseren Näherungswert der Lösung x) 1.123 Ermittle x näherungsweise! a) 3x = 7 c) 5x = 9 e) 8,2x = 7,5 g) 253 x = 98 i) 9– 2 x = 25 b) 2x = 15 d) 10x = 17 f) 20,3x = 100,8 h) 164 x = 56 j) 10– 8 x = 960 1.124 Ermittle x näherungsweise! a) 24 x – 5 = 19 c) 43 x – 1 = 120 e) 3– x + 2 = 2 g) 11x – 1 = 12 i) 3,68– x + 1 = 7,93 b) 32 x + 3 = 55 d) 54 x – 3 = 18 f) 2– 3 x + 10 = 3 h) 152 x – 1 = 2 j) 0,252 x – 1 = 5,68 1.125 Drücke x durch die übrigen Variablen aus! a) a = bcx c) u2 x + 1 = a _ b e) k 7 – x = m · n g) a _ b 2 x = c2 · d i) (a + 1)2 x = b _ c b) (8 m)x – 1 = n2 d) z (x 2) = a + b2 · c3 f) K = Ko · r x h) N = N o · b 2 x j) A = R · (1 – a– x) Logarithmen mit verschiedenen Basen R Zwei Logarithmen loga x und logb x mit verschiedenen Basen haben einen Zusammenhang: Satz Seien a, b * R+ und a, b ≠ 1. Dann gilt für alle x * R+: (1) logb x = loga x · logb a (2) log 1 _ a x = –loga x BEWEIS (1) W ir gehen von x = aloga x aus und bilden auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis b: logb x = logb (a logax) = log a x · logb a (2) E s ist log 1 _ a a = –1, denn ( 1 _ a ) – 1 = a. Damit ergibt sich aus (1): log 1 _ a x = loga x · log 1 _ a a = loga x · (– 1) = – loga x 1.126 Drücke den gegebenen Logarithmus durch einen Logarithmus mit der Basis 2 aus! a) log4 x b) log8 x c) log10 x d) log 1 _ 2 x e) log 1 _ 4 x f) log 1 _ 8 x kompakt S. 27 AUFGABEN R AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=