247 12.2 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Unmögliche und sichere Ereignisse R 12.24 Ein Würfel wird geworfen. Ermittle die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses: 1) E 1: Es kommt die Augenzahl 7. 2) E 2: Es kommt eine der Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6. LÖSUNG Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1) P (E 1) = †M (E 1)† _ †Ω† = †{ }† _ †Ω† = 0 _ 6 = 0 2) P (E 2) = †M (E 2)† _ †Ω† = †Ω† _ †Ω† = 1 Man bezeichnet E 1 als unmögliches Ereignis und E 2 als sicheres Ereignis. Definition • E in unmögliches Ereignis ist ein Ereignis, das bei keiner Versuchsdurchführung eintritt. • E in sicheres Ereignis ist ein Ereignis, das bei jeder Versuchsdurchführung eintritt. Wie in Aufgabe 12.24 kann man allgemein zeigen: Satz • I st E ein unmögliches Ereignis, dann ist P (E) = 0. • Ist E ein sicheres Ereignis, dann ist P (E) = 1. Gegenereignis, Verknüpfungen von Ereignissen R Ausgehend von gegebenen Ereignissen erhält man durch Verknüpfung weitere Ereignisse. Definition E, E 1 und E 2 sind Ereignisse eines Zufallsversuchs. • D as Gegenereignis ¬ E [sprich: nicht E] von E tritt genau dann ein, wenn das Ereignis E nicht eintritt. • D as Ereignis E 1 ? E 2 [sprich: E 1 und E 2] tritt genau dann ein, wenn sowohl das Ereignis E 1 als auch das Ereignis E 2 eintritt. • D as Ereignis E 1 = E 2 [sprich: E 1 oder E 2] tritt genau dann ein, wenn mindestens eines der beiden Ereignisse E 1 bzw. E 2 eintritt. BEISPIELE Münzwurf: Ereignis E: Zahl Gegenereignis ¬ E: Kopf Würfel: Ereignis E: Es kommt 6. Gegenereignis ¬ E: Es kommt nicht 6. Roulette: Ereignis E: Passe Gegenereignis ¬ E: Null oder Manque Satz Ist E ein Ereignis, so gilt: P (¬ E) = 1 – P (E) • Begründung mit relativen Anteilen: Sind n Versuchsausgänge möglich und k Versuchsausgänge für E günstig, dann sind n – k Versuchsausgänge für ¬ E günstig. Somit gilt: P(¬E) = n – k _ n = 1 – k _ n =1 – P(E) • Begründung mit relativen Häufigkeiten: Der Versuch wird n-mal unter gleichen Bedingungen durchgeführt. Dabei tritt das Ereignis E genau k-mal ein. Dann tritt das Gegenereignis ¬ E genau (n – k)-mal ein. Somit gilt: P(¬E) ≈ h n(¬E) = n – k _ n = 1 – k _ n =1–h n(E) ≈1 – P(E) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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