245 12.2 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Die relativen Häufigkeiten für die beiden Lagen ⊥ und ⋋ hängen von der Bauart des Nagels ab. Im Folgenden sind die Ergebnisse einer Wurfserie für einen bestimmten Reißnagel angegeben: Anzahl der Würfe 50 100 150 200 300 relative Häufigkeit der Lage 0,740 0,730 0,733 0,725 0,730 relative Häufigkeit der Lage 0,260 0,270 0,267 0,275 0,270 Vor der Durchführung der Wurfserie hätte man meinen können, dass der Reißnagelwurf ein Laplace-Experiment ist und daher jeder der beiden Lagen die gleiche Wahrscheinlichkeit 1 _ 2 zuzuordnen ist. Nach der Durchführung der Wurfserie liegt aber die begründete Vermutung vor, dass die LaplaceAnnahme auf den Reißnagelwurf nicht zutrifft. Die erste Lage ⊥ ist mit einer relativen Häufigkeit von ca. 0,7 deutlich bevorzugt gegenüber der zweiten Lage ⋋ mit einer relativen Häufigkeit von ca. 0,3. Aufgrund der durchgeführten Wurfserie wählt man daher die erhaltenen relativen Häufigkeiten als Schätzwerte für die gesuchten Wahrscheinlichkeiten und nicht die relativen Anteile, also: P (Es fällt ⊥) ≈ 0,7 und P (Es fällt ⋋) ≈ 0,3. Zusammenhänge • L iegt ein Laplace-Versuch vor, dann kann man Wahrscheinlichkeiten durch relative Anteile festlegen. Man erhält so Schätzungen für Wahrscheinlichkeiten aufgrund „idealer“ Annahmen. • L iegt ein oft wiederholbarer Versuch vor, dann kann man Wahrscheinlichkeiten durch relative Häufigkeiten festlegen. Man erhält so Schätzungen für Wahrscheinlichkeitswerte aufgrund „empirisch“ erhobener Daten, das sind also Daten aus Versuchsserien. • I m Konfliktfall entscheidet letztlich die Empirie, dh. es entscheiden Experimente über ideale Annahmen. Zur Überprüfung, ob ein Zufallsversuch tatsächlich ein Laplace-Versuch ist, muss der Versuch oft wiederholt werden. Nur wenn die beobachteten relativen Häufigkeiten und die aufgrund der Laplace-Annahme errechneten relativen Anteile ungefähr gleich sind, darf man von einem Laplace-Versuch ausgehen. Andernfalls wählt man die relativen Häufigkeiten in der Versuchsserie als Schätzwerte der betrachteten Wahrscheinlichkeiten. BEISPIEL Man überprüft Rouletteräder, indem man laufend die Häufigkeiten der einzelnen Nummern aufzeichnet. Weichen bei einem Rouletterad die dazugehörigen relativen Häufigkeiten stark von 1 _ 37 ab, so wird das Rad ausgewechselt. 12.18 In eine Schachtel werden ein Gewinnlos und zwei Nieten gelegt. Es wird ein Los „blind“ gezogen. E ist das Ereignis, dass das Gewinnlos gezogen wird. 1) Gib P (E) an, wenn man den relativen Anteil zugrunde legt! 2) Wiederhole den Versuch allein oder mit anderen möglichst oft, ermittle die absolute Häufigkeit von E in der Versuchsserie und berechne die relative Häufigkeit hn (E)! Gilt hn (E) ≈ P (E)? 12.19 Aus einer Urne, in der drei Lose mit den Nummern 1, 2 und 3 liegen, wird ein Los „blind“ gezogen. Betrachte die drei Ereignisse: Ei: Es wird das Los mit der Nummer i gezogen (i = 1, 2, 3). 1) Gib P (E1), P (E2) und P(E3) an, wenn man annimmt, dass ein Laplace-Versuch vorliegt! 2) Prüfe, ob hier tatsächlich ein Laplace-Versuch vorliegt, indem du gemeinsam mit anderen Personen eine Serie mit 500 Versuchen durchführst! AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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