240 12 WAHRSCHEINLICHKEITEN • Wie kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses konkret festlegen? Es ist unmöglich, Wahrscheinlichkeiten, die ja Maße von Erwartungen sind, sicher und verbindlich anzugeben. Dennoch gibt es Methoden, mit denen man für konkrete Ereignisse zumindest plausible, dh. einsichtige Wahrscheinlichkeitswerte erhält. Wahrscheinlichkeiten durch relative Anteile festlegen R 12.01 Die nebenstehende Tabelle gibt die Anzahl der Knaben bzw. Mädchen in den Klassen 6a und 6b einer Schule an. Aus jeder der beiden Klassen wird ein Klassenmitglied zufällig ausgewählt. In welcher der beiden Klassen ist es dabei wahrscheinlicher, ein Mädchen zu erhalten? LÖSUNG Wegen der zufälligen Auswahl liegen Laplace-Versuche vor. Man könnte meinen, es ist wahrscheinlicher, in der 6a ein Mädchen zu erhalten, weil es ja dort mehr Mädchen gibt. Diese Überlegung ist aber falsch. Entscheidend ist hier nicht der absolute, sondern der relative Anteil der Mädchen in den beiden Klassen. Je größer der relative Anteil der Mädchen, desto wahrscheinlicher die Auswahl eines Mädchens. Daher ist der relative Anteil der Mädchen an allen Klassenmitgliedern ein geeignetes Maß für die jeweils betrachtete Wahrscheinlichkeit. Für das Ereignis E = „Das ausgewählte Klassenmitglied ist ein Mädchen“ legt man fest: • in 6a: P (E) = relativer Anteil der Mädchen an allen Klassenmitgliedern = 13 _ 25 = 0,52 • in 6b: P (E) = relativer Anteil der Mädchen an allen Klassenmitgliedern = 11 _ 18 ≈ 0,61 Die Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen auszuwählen, ist in der 6b größer als in der 6a und kann mit ca. 0,61 angegeben werden. Wir definieren allgemein, was unter dem Begriff „relativer Anteil“ zu verstehen ist. Definition • | M | ist die Anzahl der Elemente von M. • relativer Anteil von A in M = | A | _ | M | = Anzahl der Elemente von A ____ Anzahl der Elemente von M 12.02 In der nebenstehend abgebildeten Urne befinden sich weiße, schwarze und rote Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Gib die Wahrscheinlichkeit an, 1) eine weiße, 2) eine schwarze, 3) eine rote Kugel zu erhalten! LÖSUNG Wie in 12.01 verwenden wir den relativen Anteil als Maß für die Wahrscheinlichkeit. 1) Der relative Anteil der weißen Kugeln an allen Kugeln beträgt 5 _ 9 . Somit: P (Man erhält eine weiße Kugel) = 5 _ 9 2) Der relative Anteil der schwarzen Kugeln an allen Kugeln beträgt 3 _ 9 = 1 _ 3 . Somit: P (Man erhält eine schwarze Kugel) = 1 _ 3 3) Der relative Anteil der roten Kugeln an allen Kugeln beträgt 1 _ 9 . Somit: P (Man erhält eine rote Kugel) = 1 _ 9 Die in den letzten beiden Aufgaben 12.01 und 12.02 verwendete Methode zur Festlegung von Wahrscheinlichkeiten kann man allgemein so beschreiben: 6a 6b Knaben 12 7 Mädchen 13 11 Gesamt 25 18 A M Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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