229 11.5 Weitere Arten von Mittelwerten Geometrisches Mittel L 11.54 In einer Nährlösung befinden sich zu Beginn 20 000 Bakterien. Die Bakterienanzahl nimmt in der ersten Stunde um 50 %, in der zweiten Stunde um 40 %, in der dritten Stunde um 30 %, in der vierten Stunde um 20 % und in der fünften Stunde um 10 % zu. Berechne, mit welchem Faktor bzw. um wie viel Prozent die Bakterienanzahl in diesen fünf Stunden im Mittel pro Stunde gestiegen ist! LÖSUNG • N ach fünf Stunden sind 20 000 · 1,5 · 1,4 · 1,3 · 1,2 · 1,1 = 72 072 Bakterien vorhanden. • Wir fragen: Mit welchem konstanten stündlichen Wachstumsfaktor q müsste die Bakterienkultur wachsen, um in 5 Stunden ebenfalls von 20 000 auf 72 072 Bakterien anzuwachsen? 20 000 · q5 = 20 000 · 1,5 · 1,4 · 1,3 · 1,2 · 1,1 w q = 5 � _______________ 1,5 · 1,4 · 1,3 · 1,2 · 1,1≈ 1,292 Die Bakterienanzahl ist also in diesen fünf Stunden im Mittel ca. mit dem Faktor 1,292 bzw. um ca. 29,2 % pro Stunde gestiegen. • E ntspricht der berechnete mittlere stündliche Wachstumsfaktor q ≈ 1,292 dem arithmetischen Mittel der Wachstumsfaktoren in den einzelnen Stunden? Nein, denn 1,5 + 1,4 + 1,3 + 1,2 + 1,1 ____ 5 = 1,3 ≠ q. • Entspricht der berechnete mittlere stündliche Wachstumsprozentsatz von ca. 29,2 % dem arithmetischen Mittel der Wachstumsprozentsätze in den einzelnen Stunden? Nein, denn 50%+40%+30%+20%+10% _____ 5 = 30% ≠ 29,2%. • M an sieht also, dass weder das arithmetische Mittel der Wachstumsfaktoren noch das arithmetische Mittel der Wachstumsprozentsätze zum korrekten Ergebnis führen. Man bezeichnet die Zahl q = 5 � _______________ 1,5 · 1,4 · 1,3 · 1,2 · 1,1als geometrisches Mittel der Zahlen 1,5; 1,4; 1,3; 1,2 und 1,1. Allgemein ist das geometrische Mittel so definiert: Definition Die Zahl n � ___________ a 1 · a 2 · … · a n heißt geometrisches Mittel der positiven Zahlen a 1 , a 2 , …, a n . Merke Mittlere Änderungsfaktoren (Wachstums- und Abnahmefaktoren, Aufzinsungs- und Abzinsungsfaktoren usw.) berechnet man mithilfe des geometrischen Mittels. 11.55 Österreich hatte im Jahr 2018 ca. 8 822 000 Einwohner, im Jahr 2019 ca. 8 859 000 Einwohner, im Jahr 2020 ca. 8 901 000 Einwohner, im Jahr 2021 ca. 8 933 000 Einwohner. Berechne für den Zeitraum von 2018 bis 2021, um wie viel Prozent die Einwohnerzahl Österreichs im Mittel pro Jahr gestiegen ist! 11.56 Eine Bank macht folgendes Kreditzinsangebot mit einer Laufzeit von 10 Jahren: Während der ersten fünf Jahre gilt ein Jahreszinssatz von 4 %, danach drei Jahre lang ein Jahreszinssatz von 6 %, während der Restlaufzeit ein Jahreszinssatz von 8 %. Berechne den mittleren Jahreszinssatz bei diesem Zinsangebot! AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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