228 11 BESCHREIBENDE STATISTIK 11.5 Weitere Arten von Mittelwerten Gewichtetes arithmetisches Mittel R In der Darstellung ‾x = h 1 · a 1 + h 2 · a 2 + … + h k · a k (mit h 1 + h 2 + … + h k = 1) bezeichnet man ‾x auch als gewichtetes (bzw. gewogenes) arithmetisches Mittel der Werte a 1 , a 2 , …, a k mit den Gewichtszahlen h 1 , h 2 , …, h k . Allgemein definiert man: Definition Eine Zahl der Form ‾x g = g 1 · a 1 + g 2 · a 2 + … + g k · a k (mit g 1 + g 2 + … + g k = 1 und g i º 0) bezeichnet man als gewichtetes (gewogenes) arithmetisches Mittel der Zahlen a 1 , a 2 , …, a k mit den Gewichtszahlen g 1 , g 2 , …, g k . Die Gewichtszahl g i gibt den relativen Anteil an, den der Wert a i zu ‾x g beiträgt. Je größer g i ist, desto mehr trägt a i zum Wert von ‾x g bei (desto größeres „Gewicht“ hat also a i ). Die Gewichtszahlen gi sind beim Mittelwert ‾xrelative Häufigkeiten, können aber auch andere Bedeutungen haben, wie man in den folgenden Aufgaben sieht. 11.50 Ein Farbenhändler mischt drei Sorten farbloser Lacke. Die Prozentanteile der drei Sorten in der Mischung und die Literpreise der Sorten sind in der Tabelle angegeben. Berechne den Preis, den der Händler für einen Liter der Mischung verlangen soll! LÖSUNG Klarerweise soll ein Liter der Mischung so viel kosten wie die zu Herstellung nötigen Bestandteile zusammen. Der Literpreis p der Mischung in € ergibt sich daher so: p = 60% von 52€ + 30% von 57€ + 10% von 60€ = 0,6 · 52 + 0,3 · 57 + 0,1 · 60 = 54,30 € Bezogen auf einen Liter ist der Mischungspreis p also ein gewichtetes arithmetisches Mittel der Einzelpreise. Die Gewichtszahlen sind dabei die relativen Anteile der Bestandteile an der Mischung. 11.51 Ein Aufnahmetest erfolgt schriftlich und mündlich. Die Aufnahmekommission ist der Meinung, dass das Ergebnis des schriftlichen Teils zu 70 % und das Ergebnis des mündlichen Teils zu 30 % zur Gesamtpunktezahl beitragen soll. Ein Kandidat erhält schriftlich vier Punkte und mündlich einen Punkt. Gib an, welche Gesamtpunktezahl der Kandidat erhält! LÖSUNG Die Gesamtpunktezahl wird als gewichtetes arithmetisches Mittel der bei der schriftlichen und mündlichen Prüfung erreichten Punktezahlen berechnet: Gesamtpunktezahl = 0,7 · 4 + 0,3 · 1 = 3,1 11.52 Bei einer Schularbeit lautete die Notenverteilung: 10 % Sehr gut, 20 % Gut, 50 % Befriedigend, 10 % Genügend und 10 % Nicht genügend. Berechne den zugehörigen Notendurchschnitt! 11.53 Ein Süßwarenhersteller erzeugt Pralinen der Sorten A und B zu 3 €/Stück bzw. 6 €/Stück. In einem Geschenkkarton befindet sich doppelt so viel von der Sorte B wie von der Sorte A. Gib den durchschnittlichen Preis pro Praline im Geschenkkarton an! Sorte Anteil in Prozent Preis pro Liter (in €) I 60 % 52,00 II 30 % 57,00 III 10 % 60,00 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=