223 11.3 ������������� 11.36 Bei der Berechnung der Mittelwerte zweier vorgegebener Zahlenlisten erhält man jeweils den Wert 9. Die Standardabweichung der ersten Liste beträgt 1, die der zweiten Liste 2. Kreuze die beiden Aussagen an, die mit Sicherheit zutreffen! Beide Listen haben den gleichen Median. Die zweite Liste ist breiter gestreut als die erste. Die zweite Liste ist doppelt so lang wie die erste. Die Varianz der zweiten Liste ist viermal so groß wie die der ersten. Bei der ersten Liste liegt keine Zahl außerhalb des Intervalls [7; 11]. 11.37 Eine Maschine produziert Schrauben mit der Solllänge von 40 mm. Der Produktion wird eine Stichprobe entnommen. Die dabei gemessenen Schraubenlängen (in mm) lauten: 39, 39, 37, 38, 39, 39, 41, 39, 39, 39, 39, 40, 41, 38, 39, 37, 37, 38, 39, 40 Berechne den Mittelwert und die Standardabweichung der Liste! 11.38 Die Firma „Bonafrutta“ befüllt Marmeladegläser mit einer Sollmasse von 500 g. Bei 15 zufällig ausgewählten Gläsern wurden die folgenden Füllmengen (in g) festgestellt: 509, 499, 489, 503, 510, 500, 495, 503, 509, 498, 478, 504, 509, 504, 498 Ermittle Schätzwerte für die mittlere Füllmenge und die Standardabweichung in der Grundgesamtheit aller von der Firma befüllten Gläser! Datenveränderungen R Satz Gegeben sind zwei Listen von Zahlen x 1 , x 2 , …, x n und y 1 , y 2 , …, y n mit den Mittelwerten ‾x bzw. ‾yund den empirischen Standardabweichungen s x bzw. s y. a) Ist y i = x i + c für i = 1, …, n und c * ℝ, dann gilt: ‾y = ‾ x + c und s y = s x . b) Ist y i = x i · c für i = 1, …, n und c * ℝ*, dann gilt: ‾y = ‾ x · c und s y = c · s x. BEWEIS a) ‾y = y 1 + y 2 + … + y n _ n = x 1 + c + x 2 + c + … + x n + c ____ n = x 1 + x 2 + … + x n + n · c ____ n = x 1 + x 2 + … + x n _ n + c = ‾x + c s y = � ______________ (y 1 – ‾y ) 2 + … + (y n – ‾y ) 2 ____ n = � _________________________ [(x 1 + c) – (‾x + c)] 2 + … + [(x n + c) – (‾x + c)] 2 ______ n = � ______________ (x 1 – ‾x ) 2 + … + (x n – ‾x ) 2 ____ n = s x b) ‾y = y 1 + y 2 + … + y n _ n = c · x 1 + c · x 2 + … + c · x n ____ n = c · x 1 + x 2 + … + x n _ n = c · ‾x s y = � ______________ (y 1 – ‾y ) 2 + … + (y n – ‾y ) 2 ____ n = � ____________________ (c · x 1 – c · ‾x ) 2 + … + (c · x n – c · ‾x ) 2 _____ n = � __________________ c 2 · (x 1 – ‾x ) 2 + … + c 2 · (x n – ‾x ) 2 _____ n = = c · � ______________ (x 1 – ‾x ) 2 + … + (x n – ‾x ) 2 ____ n =c·s x 11.39 Gib an, wie sich Mittelwert und empirische Standardabweichung einer Preisliste in € ändern, wenn alle Preise a) um 1 € erhöht, b) in Cent statt Euro angegeben werden! 11.40 Eine Liste von Temperaturangaben in °C wird auf Angaben in °F (Fahrenheit) geändert. Gib an, wie sich dadurch Mittelwert und empirische Standardabweichung der Liste ändern! HINWEIS TFahrenheit = 1,8 · TCelsius + 32 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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