22 1 POTENZEN, WURZELN UND LOGARITHMEN 1.6 Logarithmen Der Begriff des Logarithmus R 1.99 Mit welcher Hochzahl muss 10 potenziert werden, um a) 100, b) 0,001 zu erhalten? LÖSUNG a) mit 2, denn 10 2 = 100 b) mit – 3, denn 10 – 3 = 1 _ 10 3 = 0,001 Definition Seien a, b * ℝ + und a ≠ 1. Die Hochzahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten, heißt Logarithmus zur Basis a von b und wird mit log ab bezeichnet. Die Zahl b wird in diesem Zusammenhang auch als Numerus (lat. = Zahl) bezeichnet. Es gilt somit: a log ab = b bzw. Basis Logarithmus = Numerus Setzt man log ab = x, erhält man: log ab = x É a x = b logarithmische Darstellung exponentielle Darstellung Ein und derselbe Sachverhalt kann also auf zwei verschiedene Arten angeschrieben werden. BEMERKUNG Man kann zeigen, dass die Gleichung a x = b (mit a, b * ℝ + und a ≠ 1) genau eine Lösung x besitzt. Deshalb ist log a b eindeutig bestimmt. Für a = 1 hat diese Gleichung aber nicht immer eine Lösung (z.B. ist 1 x = 2 nicht lösbar). Daher ist log a b für a = 1 nicht definiert. 1.100 Berechne: a) log 2 8 b) log 3 81 c) log 10 0,01 d) log 2 0,125 LÖSUNG a) 1. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT log 2 8 = x É 2 x = 8 É x = 3. Also ist log 2 8 = 3. 2. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT Mit welcher Hochzahl muss die Basis 2 potenziert werden, um den Numerus 8 zu erhalten? Offensichtlich mit 3. Also ist log 2 8 = 3. b) log 3 81 = x É 3 x = 81 É x = 4. Also ist log 3 81 = 4. c) log 10 0,01 = x É 10 x = 0,01 É x = – 2. Also ist log 10 0,01 = – 2. d) log 2 1 _ 8 = x É 2 x = 1 _ 8 É x = – 3. Also ist log 2 1 _ 8 = – 3. Logarithmen zur Basis 10 heißen Zehnerlogarithmen bzw. dekadische Logarithmen und werden mit log 10 b oder kurz log b bezeichnet. 1.101 Ordne jeder logarithmischen Darstellung in der linken Tabelle die zugehörige exponentielle Darstellung aus der rechten Tabelle zu! kompakt S. 27 AUFGABEN R log u v = w A u v = w log u w = v B u w = v log v u = w C v w = u log w v = u D v u = w E w u = v F w v = u Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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