215 11.2 ����������� 11.2 Zentralmaße Modus, Median und arithmetisches Mittel R Statistische Erhebungen liefern Urlisten von Merkmalswerten. Durch verschiedene Kenngrößen kann man solche Datenlisten „zusammenfassen“ und zB folgende Fragen beantworten: Welcher Merkmalswert „repräsentiert“ die Urliste am besten, welcher Merkmalswert liegt „im Zentrum“ der Urliste, welchen Merkmalswert weisen die untersuchten Individuen „im Mittel“ auf? • Modus: Der Modus einer Datenliste ist der am häufigsten vorkommende Wert der untersuchten Variablen. Er wird vor allem bei qualitativen Variablen verwendet. Auch mehrere Modi sind möglich, da es mehrere häufigste Werte geben kann. BEISPIEL Eine Erhebung der Haarfarben zweier Personengruppen lieferte: Urliste 1: schwarz, blond, brünett, schwarz w Modus = schwarz Urliste 2: brünett, blond, blond, schwarz, brünett w Modi = brünett und blond • Median (Zentralwert): D er Median einer Zahlenliste x1, x2, … , xn, die der Größe nach geordnet ist, wird so festgelegt: – Für ungerades n ist der Median die Zahl in der Mitte der Liste. – F ür gerades n bezeichnet man das arithmetische Mittel der beiden in der Mitte stehenden Zahlen als Median der Liste. Daher gilt: In der Liste stehen vor und nach der so ermittelten Position des Medians gleich viele Zahlen. BEISPIELE 1, 1, 2, 3, 3, 4, 9 1, 1, 2, 3, 5, 6, 6, 7 4 Median Median • Arithmetisches Mittel (Mittelwert, Durchschnitt): Unter dem arithmetischen Mittel einer Zahlenliste x 1 , x 2 , …, x n versteht man die reelle Zahl ‾x = x 1 + x 2 + … + x n _ n . Hat eine Variable die k möglichen Werte a 1 , a 2 , …, ak , die in der Liste mit den absoluten Häufigkeiten H1, H2, … , Hk bzw. relativen Häufigkeiten h 1 , h 2 , …, h k vorkommen, dann gilt: – ‾x = H 1 · a 1 + H 2 · a 2 + … + H ka k ____ n mit H 1 + H 2 + … + H k = n bzw. – ‾x = h 1 · a 1 + h 2 · a 2 + … + h· a k mit h 1 + h 2 + … + h k = 1 11.13 Die 26 Schülerinnen und Schüler einer Klasse wurden befragt, wie viele Minuten sie für ihren Schulweg benötigen. Die Antworten sind in dem nebenstehenden Stängel-Blatt-Diagramm zu finden. Ermittle den Modus, den Median und das arithmetische Mittel der geordneten Liste! Zehnerziffer Einerziffer 0 5, 5, 8 1 0, 0, 2, 2, 5, 8, 8, 8, 8 2 0, 5, 5, 5, 9, 9 3 5, 5, 5, 8, 8 4 5, 5, 5 LÖSUNG Modus = 18 (min) Median = 20 + 25 _ 2 = 22,5 (min) Arithmetisches Mittel = = 2 · 5 + 1 · 8 + 2 · 10 + 2 · 12 + 1 · 15 + 4 · 18 + 1 · 20 + 3 · 25 + 2 · 29 + 3 · 35 + 2 · 38 + 3 · 45 _____________ 26 ≈ 23,8 (min) Ó Lernapplet 4kh8re Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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