21 1.5 POTENZEN MIT EXPONENTEN AUS R 1.5 Potenzen mit Exponenten aus ℝ Definition von Potenzen mit reellen Exponenten L Wir werden im Abschnitt 4.1 reelle Funktionen f mit f(x) = a x über ihrer größtmöglichen Definitionsmenge ℝ untersuchen. Dazu müssen zuerst Potenzen a x mit x * ℝ definiert werden. Was soll man beispielsweise unter 3 � _ 2 verstehen? Man kommt der unbekannten Zahl 3 � _ 2 immer näher, wenn man � _ 2durch rationale untere und obere Schranken immer enger einschränkt. Zum Beispiel: 1,4 < � _ 2 < 1,5 w 31,4 < 3 � _ 2 < 31,5 w 4,6555 < 3 � _ 2 < 5,1962 1,41 < � _ 2< 1,42 w 31,41 < 3 � _ 2 < 31,42 w 4,7069 < 3 � _ 2 < 4,7590 1,414 < � _ 2< 1,415 w 31,414 < 3 � _ 2 < 31,415 w 4,7276 < 3 � _ 2 < 4,7329 usw. Es erscheint demnach sinnvoll, unter 3 � _ 2 jene Zahl zu verstehen, die zwischen allen Zahlen 3 x mit rationalem x < � _ 2 und allen Zahlen 3 y mit rationalem y > � _ 2 liegt. Allgemein definieren wir: Definition Sei a * ℝ + und r * ℝ. Unter a r verstehen wir jene Zahl, die zwischen allen Zahlen a x mit rationalem x < r und allen Zahlen a y mit rationalem y > r liegt. Man kann beweisen, dass es genau eine solche Zahl gibt. Die Potenz a r ist also eindeutig bestimmt. Außerdem kann man zeigen, dass sich mit dieser Definition im Fall r * ℚ der gleiche Wert der Potenz ergibt wie durch Anwendung der Definition auf Seite 19. Potenzen mit reellen Exponenten sind also Verallgemeinerungen von Potenzen mit rationalen Exponenten. Rechenregeln für Potenzen mit reellen Exponenten L Die bisherigen Potenzregeln gelten weiterhin: Satz (Rechenregeln für Potenzen mit reellen Exponenten) Für alle a, b * ℝ + und alle x,y * ℝ gilt: (1) a x · a y = a x + y (3) (a x) y = a x · y (5) ( a _ b ) x = a x _ b x (2) a x _ a y = a x– y (4) (a · b) x = a x · b x Satz Für alle a * ℝ + und alle x * ℝ + gilt: (1) a > 1 w a x > 1 (2) 0 < a < 1 w 0 < a x < 1 Beweise dieser Sätze führen wir nicht durch. 1.98 Die Zahl 2 � _ 2 kann durch Potenzen mit rationalen Hochzahlen beliebig genau angenähert werden. Gib zwei rationale Zahlen x und y so an, dass 2 x < 2 � _ 2 < 2 y und y – x < 0,001 ist! 9_ 3x 3y 3 2 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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