204 10 GERADEN UND EBENEN IM RAUM 10.64 Ermittle, welcher der in Abb. 10.1 dargestellten Lösungsfälle für das folgende Gleichungssystem zutrifft, und gib die Lösungsmenge L an! 1) { 2x–y–2z=1 x+y–4z=8 –x+y– z=3 2) { 2x–2y+2z=–1 2x–2y– z=–4 3x–3y+ z=–5 3) { x– y– z=–1 2x–2y+ z= 4 –2x+2y+5z= 8 LÖSUNG Wir deuten die drei Gleichungen als Ebenen. Bei allen drei Gleichungssystemen erkennt man anhand der Normalvektoren, dass keine zwei der drei Ebenen parallel sind. Es liegt also bei jedem der Gleichungssysteme einer der Fälle in Abb. 10.1 a,b,c vor. Um welchen Fall es sich handelt, erkennt man bei dem Versuch, das Gleichungssystem zu lösen. 1) Führe die Rechnung selbst durch! Es ergibt sich: x = 1, y = 3, z = –1. Es liegt also der Fall in Abb. 10.1 a vor und es ist L = E1 ° E2 ° E3 = {(1 1 3 1 – 1)}. 2) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 2x–2y+2z=–1 | · 3 2x–2y– z=–4 |·(–1) 3x–3y+ z=–5 | · (– 2) w { 2x–2y+2z=–1 3z=3 4 z = 7 Da die letzten beiden Gleichungen einander widersprechen, hat das Gleichungssystem keine Lösung. Somit liegt der Fall in Abb. 10.1 c vor und es ist L = E1 ° E2 ° E3 = ¿. 3) { x– y– z=–1 |·(–2) | · 2 2x–2y+ z=4 –2x+2y+5z=8 w { x–y–z=–1 3 z = 6 3 z = 6 Da jetzt die zweite und dritte Gleichung miteinander übereinstimmen, können wir die dritte Gleichung weglassen. Aus der zweiten Gleichung erhalten wir z = 2. Setzt man dies in die erste Gleichung ein, ergibt sich x – y = 1. In dieser Gleichung darf eine der Zahlen x und y beliebig gewählt werden, die andere ist dann durch die Gleichung bestimmt. Wir setzen beispielsweise y = t (mit t * ℝ). Dann ist x = 1 + t und wir erhalten: L = E1 ° E2 ° E3 = {(x 1 y 1 z) * R3 ‡ (x 1 y 1 z) = (1 + t 1 t 1 2)} = { X * R3 ‡ X = (1 1 0 1 2) + t · (1 1 1 1 0)} Dies ist eine Gerade in R3. Es liegt also der Fall in Abb. 10.1 b vor. 10.65 Löse das folgende Gleichungssystem mit der Substitutions- oder Eliminationsmethode! a) { x+4y+2z=6 4x+3y– z=14 2x–5y–6z=–2 b) { 4x+3y+5z= 18 5x–4y+6z=–9 3x+2y+4z= 13 c) { 3x–4y+ z= 30 2x+2y+5z= 32 x+ y–2z=–11 d) { 5x– y+4z=12 2x+3y– z= 2 x + y + z = 7 10.66 Stelle fest, ob die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems leer, ein Punkt in R3, eine Gerade in R3 oder eine Ebene in R3 ist! a) { 3x+4y–6z=1 x+ y–2z=0 x + y + z = 3 c) { 2x–4y+3z= 3 3x–8y– z=–3 x– y–2z=–1 e) { x+ y–2z=1 2x–3y+ z=2 4x–7y+2z=3 g) { x– 4y– 5z=1 2x– 8y–10z=2 3 x – 12 y – 15 z = 3 b) { 3x+4y–6z=1 x+2y– z=0 2x+2y–5z=1 d) { 3x+ y+4z=1 –3x– y–4z=1 6x+2y+8z=3 f) { x– 4y– 5z=1 2x– 3y– z=2 4x–16y–20z=3 h) { 3x–4y– z=4 6x–8y–2z=8 –3x+4y+ z=3 10.67 Gib jeweils zwei konkrete Beispiele für lineare Gleichungssysteme in drei Variablen an, die die folgende Lösungsmenge haben! a) L = {(0 1 0 1 0)} b) L = {(2 1 4 1 6)} c) L = { } + + + + AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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